Image directe

L'image directe d'un sous-ensemble $A$ de $X$ par une application $f:X\rightarrow Y$ est le sous-ensemble de $Y$ formé des éléments qui ont, par $f$ , au moins un antécédent appartenant à $A$ :

$f(A) = \{f(x) / x \in A\}=\{y \in Y / \exists a \in A, y=f(a)\}$ .

Exemples

On définit en particulier l'image d'une application $f$ définie sur $X$ :

Im(f) = f (X)

On se gardera bien de confondre l'image directe par $f$ d'une partie $A$ de $X$ , avec l'image par $f$ d'un élément $x$ de $X$ , ou avec l'image de l'application $f$ .

Considérons l'application ${}^{f:\{1, 2, 3\}\to\{a, b, c, d\}}$ définie par ${}^{1\mapsto a,~2\mapsto c,~3\mapsto d.}$ L'image directe de {2,3} par $f$ est $f$ ({2,3})={c,d} tandis que l'image de $f$ est {a,c,d}.

Propriétés élémentaires

Pour toutes parties $A 1$ et $A 2$ de $X$ ,

$f\left(A_1 \cup A_2\right) = f(A_1) \cup f(A_2)$ .

Plus généralement, pour toute famille $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de parties de

X

$f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)= \bigcup_{i\in I}f(A_i)$ .

Pour toutes parties $A 1$ et $A 2$ de $X$ ,

$f\left(A_1 \cap A_2\right) \subset f(A_1) \cap f(A_2)$ .

L'inclusion dans l'autre sens est fausse si

f

n'est pas injective. Considérons par exemple une application

f

constante (

Im(f) = {c}

) sur un ensemble possédant au moins deux parties disjointes non vides,

A 1

A 2

. Alors ${}^{f\left(A_1 \cap A_2\right)=f(\varnothing)=\varnothing}$ , tandis que ${}^{f(A_1)\cap f(A_2)=\{c\}\cap\{c\}=\{c\}}$ .

Plus généralement, pour toute famille non vide $\left(A_i\right)_{i\in I}$ de parties de

X

$f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset \bigcap_{i\in I}f(A_i)$ .

Pour toute partie $B$ de $Y$ ,

$f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f)$

Démonstration

Pour tout élément $y$ de $f (f - 1 (B))$ , il existe un élément $x$ de l'image réciproque $f - 1 (B)$ (c'est-à-dire un élément $x$ de $X$ dont l'image $f (x)$ appartient à $B$ ) tel que $y = f (x)$ , si bien que $y$ appartient à $Im(f)$ , mais aussi à $B$ .
Réciproquement, pour tout $y$ appartenant à la fois à $Im(f)$ et à $B$ , il existe au moins un élément $x$ de $X$ tel que $y = f (x)$ , et un tel $x$ vérifie ${}^{f(x)\in B}$ c'est-à-dire ${}^{x\in f^{-1}(B)}$ , donc son image $y$ appartient à $f (f - 1 (B))$ .

En particulier si

f

est surjective alors

f (f - 1 (B)) = B

Pour toute partie $A$ de $X$ ,

$A\subset f^{-1}(f(A))$ .

En effet, ${}^{x\in A\Rightarrow f(x)\in f(A)\Leftrightarrow x\in f^{-1}(f(A))}$ . En général on a seulement une inclusion et pas une égalité, car la réciproque de la première implication est fausse si

f

n'est pas injective.

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