Image reciproque

Image reciproque

Image réciproque

L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f:X\rightarrow Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : f^{-1}(B) = \{x \in X / f(x)\in B\}.

Exemple : Considérons l'application f:\{1, 2, 3\}\rightarrow \{a, b, c, d\}, définie par

1\mapsto a, \quad 2\mapsto c, \quad 3\mapsto d

L'image réciproque de {a,b} par f est f − 1({a,b}) = {1}.

Notons qu'avec cette définition, f-1 devient une fonction dont l'ensemble de définition est l'ensemble de toutes les parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette opération sur les parties avec l'application réciproque f-1. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par f-1.

Propriétés élémentaires

  • Pour toutes parties B1 et B2 de Y,
f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2).
f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).
  • Pour toute partie B de Y, f(f^{-1}(B)) \subset B.
\forall B\subset Y, f(f^{-1}(B)) = B \Leftrightarrow f \ {\rm surjective}
  • Pour toute partie A de X, A\subset f^{-1}(f(A))
\forall A\subset X, A = f^{-1}(f(A)) \Leftrightarrow f \ {\rm injective}
  • Pour toutes parties A et B de Y,
f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)
  • Pour toute famille \left(B_i\right)_{i\in I} de parties de Y,
f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)
  • Si l'on considère de plus une application g:Y\rightarrow Z, alors pour toute partie C de Z,
(gof)^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C))

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Image r%C3%A9ciproque ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Image reciproque de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Image Réciproque — L image réciproque d une partie B d un ensemble Y par une application est le sous ensemble de X constitué des éléments dont l image par f appartient à B : . Exemple : Considérons l application , définie par …   Wikipédia en Français

  • Image réciproque — L image réciproque d une partie B d un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous ensemble de X constitué des éléments dont l image par f appartient à B : Sommaire 1 Exemples 2 …   Wikipédia en Français

  • Tribu image réciproque — Cet article court présente un sujet plus développé dans : Tribu (mathématiques). Étant donnés un espace mesurable, Ω1 un ensemble et une application, la tribu image réciproque de sous f est l ensemble noté défini par  …   Wikipédia en Français

  • IMAGE — Même limitée aux arts visuels, l’image ne peut être séparée des racines profondes qu’elle a dans la mémoire, l’imagination, la pensée ou le rêve. L’image est sans nul doute l’objet de réflexion le plus rebelle aux classifications par genres et… …   Encyclopédie Universelle

  • Image Directe — L image directe d un sous ensemble A de X par une application est le sous ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d un élément de A : , ou . Si A=X, alors f(X) est appelée l image de (l application) f. On se… …   Wikipédia en Français

  • Image directe — L image directe d un sous ensemble A de X par une application est le sous ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A : . Exemples On définit en p …   Wikipédia en Français

  • Image (homonymie) — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Image (homonymie) », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Couramment, une image, du latin… …   Wikipédia en Français

  • réciproque — [ resiprɔk ] adj. et n. • 1380; lat. reciprocus I ♦ Adj. 1 ♦ Qui s exerce à la fois d un premier terme à un second et du second au premier (d une même relation, d un même rapport). ⇒ symétrique. Relations réciproques. ♢ Spécialt Qui implique,… …   Encyclopédie Universelle

  • Base réciproque — Espace réciproque En physique, on utilise souvent des espaces abstraits pour caractériser les phénomènes, ce sont des espaces des phases. Dans le cas des ondes, l espace des phases est l espace des vecteurs d onde. Une onde plane et… …   Wikipédia en Français

  • Espace Réciproque — En physique, on utilise souvent des espaces abstraits pour caractériser les phénomènes, ce sont des espaces des phases. Dans le cas des ondes, l espace des phases est l espace des vecteurs d onde. Une onde plane et monochromatique est entièrement …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”