Image réciproque

Image réciproque

L'image réciproque d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B :

f^{-1}(B) = \{x \in X~|~f(x)\in B\}~.

Sommaire

Exemples

  • Considérons l'application f : {1,2,3} → {a,b,c,d} définie par f(1)=a, f(2)=c, f(3)=d. L'image réciproque de {a, b} par f est f-1({a,b)}={1}.
  • Considérons une application quelconque f : X → Y et y un élément de Y. L'image réciproque f-1({y}) du singleton {y} par f est l'ensemble des antécédents par f de y.

L'application « image réciproque »

Avec cette définition, f-1 est l'application « image réciproque (par f) » , dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.

Mise en garde : Lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f-1, de Y dans X. Fort heureusement, l'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f-1.

Propriétés élémentaires

  • Pour toutes parties B1 et B2 de Y,
f^{-1}\left(B_1 \cup B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2).
f^{-1}\left(B_1 \cap B_2\right) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).
  • Pour toute partie B de Y, f(f^{-1}(B))=B\cap\mathrm{Im}(f)
(une démonstration est proposée dans l'article Image directe).
En particulier si f est surjective alors f(f − 1(B)) = B.
On peut même prouver que f et surjective si et seulement si pour toute partie B de Y on a f(f − 1(B) = B.
  • Pour toute partie A de X, A\subset f^{-1}(f(A))
L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si f n'est pas injective.
On peut même prouver que f et injective si et seulement si pour toute partie A de X on a f − 1(f(A)) = A.


  • Pour toutes parties A et B de Y,
f^{-1}\left(A\backslash B\right)=f^{-1}(A)\backslash f^{-1}(B)
  • Pour toute famille non vide \left(B_i\right)_{i\in I} de parties de Y,
f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)= \bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)
f^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}B_i\right)= \bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)
  • Si l'on considère de plus une application g:Y\rightarrow Z, alors l'image réciproque d'une partie C de Z par la composée g\circ f est :
(g\circ f)^{-1}\left(C\right)=f^{-1}(g^{-1}(C)).

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Image réciproque de Wikipédia en français (auteurs)

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