Aleph (nombre)

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En théorie des ensembles, les alephs sont les cardinaux des ensembles infinis bien ordonnés. En quelque sorte, le cardinal d'un ensemble représente sa « taille », indépendamment de toute structure que puisse avoir cet ensemble (celle d'ordre en particulier dans le cas présent). Ils sont nommés ainsi d'après la lettre aleph, notée א, première lettre de l'alphabet hébreu, qui est utilisée pour les représenter. En effet on montre que les alephs forment une classe propre elle même « bien ordonnée », et il existe alors une et une seule « bijection » (une classe fonctionnelle bijective) croissante de la classe des ordinaux dans la classe des alephs. On utilise la notation ℵ_α pour désigner l'image de α par cette « bijection ».

En présence de l'axiome du choix les alephs représentent les cardinaux de tous les ensembles infinis, en vertu du théorème de Zermelo qui dit qu'alors tout ensemble peut être bien ordonné. La définition même des alephs n'utilise cependant pas l'axiome du choix.

Le plus petit aleph est le cardinal des entiers naturels, et on le note donc aleph-zéro ℵ₀. Le suivant est noté aleph-un, ℵ₁, puis ℵ₂, et ainsi de suite.

La notation a été introduite par Georg Cantor, qui le premier s'est intéressé à la relation d'équipotence entre ensembles infinis, le fait d'être en bijection, et a réalisé que deux ensembles infinis pouvaient ne pas être équipotents. Il a ensuite introduit la notion de nombre cardinal, un nombre qui caractérise une classe d'équivalence pour l'équipotence. Pour Cantor, qui utilise implicitement l'axiome du choix, ou plutôt plus directement que tout ensemble peut être bien ordonné, les alephs représentent tous les cardinaux infinis.

Définitions

Ordinal initial infini

Plus formellement, dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, on appelle ordinal initial un ordinal qui n'est équipotent à aucun ordinal strictement inférieur, et on appelle aussi cardinal un tel ordinal, en particulier en présence de l'axiome du choix. Un ordinal étant par définition bien ordonné, tout ordinal est donc équipotent à un ordinal initial, et par la même tout ensemble bien ordonné également. Tout ordinal fini est un ordinal initial. Un aleph est par définition un ordinal initial infini. Le plus petit ordinal infini, ω, qui correspond au bon ordre sur les entiers naturels, est également le plus petit aleph, et on le note, en tant que cardinal, ℵ₀.

La classe propre des alephs

La classe des ordinaux est une classe propre : c'est une version positive du paradoxe de Burali-Forti. On en déduit, grâce au schéma d'axiomes de remplacement que la classe des ordinaux initiaux est aussi une classe propre.

En effet, si ce n'était pas le cas, à partir d'un certain rang les ordinaux seraient tous équipotents, soit α le plus petit d'entre eux. Tout ordinal serait alors subpotent à α, et donc isomorphe à un bon ordre sur une partie de α. Un tel bon ordre est défini par son graphe : une partie de α × α. On peut donc définir par compréhension sur l'ensemble des parties de α × α, l'ensemble des bons ordres définis sur une partie de α. On associe à chacun de ces bons ordres son ordinal, et les ordinaux ainsi obtenus forment un ensemble par remplacement, ce ne peut donc être la classe de tous les ordinaux d'où la contradiction.

La classe des alephs est donc elle-même une classe propre, puisque les ordinaux initiaux finis forment un ensemble (qui est celui des entiers naturels).

Définition par induction

Une classe propre d'ordinaux est nécessairement image de la classe des ordinaux par une unique classe fonctionnelle bijective croissante : définition par induction ordinale pour l'existence, démonstration par induction ordinale pour l'unicité.

Pour expliciter la définition dans le cas des alephs, on va noter ρ → ρ⁺ le successeur sur les ordinaux initiaux (c'est le successeur cardinal, qui diffère du successeur ordinal) : à ρ il associe le plus petit des ordinaux strictement supérieur à ρ et non équipotent à ρ. Il existe forcément un tel ordinal, puisque la classe des ordinaux initiaux est une classe propre, et que toute classe non vide d'ordinaux a un plus petit élément.

Il est possible alors de définir la suite ordinale aleph de la façon suivante :

et pour λ, un ordinal limite infini :

Successeur cardinal

Il est possible de donner une définition plus explicite du successeur cardinal. On associe à tout ensemble un ordinal initial, que l'on appelle ordinal ou cardinal de Hartogs, de la façon suivante. L'ordinal de Hartogs d'un ensemble a est l'ensemble de tous les ordinaux subpotents à a. Cet ensemble est évidemment un segment initial de la classe des ordinaux, donc un ordinal. Il est également évidemment initial.

Quand a est un ordinal initial ρ, l'ordinal de Hartogs de ρ n'est autre que ρ⁺, le successeur cardinal de ρ.

Axiome du choix et cardinal d'un ensemble

Les définitions qui précèdent se font dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, l'axiome du choix n'est jamais utilisé. L'axiome du choix équivaut au théorème de Zermelo qui énonce que tout ensemble peut être bien ordonné. Comme les ensembles finis (au sens équipotent à un entier) sont par définition bien ordonnés, l'axiome du choix équivaut donc au fait que tout ensemble infini est équipotent à un aleph.

Dans ZFC, tout ensemble A est donc équipotent à un ordinal initial, qui est soit un entier si l'ensemble est fini, soit un aleph si l'ensemble est infini, et que l'on appelle alors cardinal de l'ensemble A.

En l'absence de l'axiome du choix, les alephs représentent les cardinaux des ensembles bien ordonnés infinis. On ne peut plus vraiment dire que ℵ₀ est le plus petit cardinal infini : il pourrait exister des ensembles qui ne sont pas finis, c'est-à-dire équipotents à aucun entier, mais ne contiennent pas de partie dénombrable (de tels ensembles, qui ne sont équipotents à aucun de leurs sous-ensembles propres, sont dits Dedekind-finis (en)).

De façon analogue, sans l'axiome du choix, tout ce que l'on peut dire du successeur cardinal ρ⁺ de ρ, c'est que tout ensemble qui aurait un cardinal compris entre ρ et ρ⁺, au sens de la subpotence, serait soit ρ soit ρ⁺. En effet un ensemble qui s'injecte dans l'ordinal ρ⁺ est nécessairement bien ordonné. Donc ρ⁺ est bien minimal, parmi les ensemble ayant un cardinal supérieur à ρ au sens de la subpotence, c'est-à-dire les ensembles dans lesquels ρ s'injecte. Par contre, sans axiome du choix, rien ne permet de dire qu'il en est le plus petit élément.

Exemples

Aleph-zéro

Aleph-zéro (ℵ₀) est, par définition, le cardinal de l'ensemble des entiers naturels. Si l'axiome du choix est vérifié, il s'agit également du plus petit cardinal infini. Un ensemble de cardinal ℵ₀ est un ensemble infini et dénombrable.

Aleph-un

Aleph-un (ℵ₁) est par définition le cardinal de l'ensemble des nombres ordinaux fini ou dénombrables (un ensemble lui-même non dénombrable). C'est aussi le cardinal de l'ensemble des nombres ordinaux dénombrables (au sens infini dénombrable). En présence de l'axiome du choix, ℵ₁ est aussi le plus petit cardinal strictement supérieur au dénombrable, au sens où il s'injecte alors dans tout ensemble non dénombrable

Aleph-ω

Le plus petit ordinal infini est noté ω. Les ordinaux strictement inférieurs à ω sont les entiers naturels. Le cardinal ℵ_ω est donc par définition la borne supérieure des ℵ_n pour n entier naturel.

Continu

Le cardinal de l'ensemble des nombres réels, appelé puissance du continu est aussi celui de l'ensemble des parties de l'ensemble des entiers naturels. Il est noté 2^ℵ₀. Il faut l'axiome du choix pour montrer qu'il est bien ordonné, donc que 2^ℵ₀ est un aleph.

Dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix, en abrégé ZFC, La place de 2^ℵ₀ dans la hiérarchie des alephs n'est cependant pas déterminée et on peut même démontrer que 2^ℵ₀ = ℵ_α est compatible avec ZFC pour la plupart des valeurs de α > 0, mais pas pour α de cofinalité (en) ω, à cause du théorème de König). par exemple 2^ℵ₀ ne peut être égal à ℵ_ω.

Une formulation de l'hypothèse du continu est l'affirmation que 2^ℵ₀ = ℵ₁, dit autrement on peut bien ordonner l'ensemble des réels par un bon ordre de type ℵ₁.

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Arithmétique cardinale

Somme et produit finis

La somme cardinale est par définition le cardinal de la somme disjointe, le produit cardinal celui du produit cartésien. La somme cardinale de deux ordinaux est donc le cardinal de leur somme ordinale, de même pour le produit, mais la somme ordinale de deux ordinaux initiaux n'est pas en général un ordinal initial, de même pour le produit : par exemple ω + ω et ω × ω ont tous deux même cardinal que ω, soit ℵ₀.

On note cependant de la même façon somme et produit cardinale, le contexte et les notations employées permettant de distinguer s'il s'agit de somme ordinale ou cardinale. Par exemple :

ω < ω + ω < ω × ω (somme et produit ordinales)

mais (bien que ℵ₀ = ω par définition) :

ℵ₀ = ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀ × ℵ₀ (somme et produit cardinales).

L'arithmétique de la somme et du produit des alephs (en nombre fini) est triviale à savoir que l'on a le résultat suivant (en notant sup la borne supérieure) :

ℵ_α + ℵ_β = ℵ_α × ℵ_β = sup(ℵ_α, ℵ_β).

En particulier, pour le carré cardinal :

ℵ_α × ℵ_α = ℵ_α

et pour l'exponentiation finie (qui se définit par récurrence sur ω) :

ℵ_αⁿ = ℵ_α.

Le résultat initial se déduit de celui sur le carré cardinal par le théorème de Cantor-Bernstein. Pour ce dernier il suffit, étant donné un ordinal κ d'exhiber un bon ordre sur κ × κ, qui, dans le cas où κ est un ordinal initial, est isomorphe à κ. C'est le cas de l'ordre suivant sur κ × κ (les couples d'ordinaux sont énumérés en "équerres" successives), pour (α, β), (γ,δ) ∈ κ × κ, on a (α, β) < (γ,δ) quand :

sup(α, β) < sup(γ,δ)

ou

sup(α, β) = sup(γ,δ) et α < γ

ou

sup(α, β) = sup(γ,δ) et α = γ et β < δ.

On montre alors qu'il s'agit d'un bon ordre sur κ × κ, puis, par récurrence ordinale sur α, que le bon ordre ainsi défini sur ℵ_α × ℵ_α a pour type d'ordre au plus ℵ_α, c'est-à-dire qu'il est isomorphe à un segment initial de ℵ_α (ce qui suffit pour la démonstration)^[1].

On en déduit, en présence de l'axiome du choix, le même résultat pour la somme et le produit de deux cardinaux infinis, c'est-à-dire que l'union disjointe et le produit de deux ensembles infinis sont équipotents entre eux et à celui des ensembles infinis qui a le plus grand cardinal (l'équipotence entre n'importe quel ensemble infini et son carré cartésien équivaut à l'axiome du choix, voir ordinal de Hartogs).

Le théorème sur le produit des alephs, ou encore ses conséquences pour les cardinaux infinis dans ZFC, est parfois appelé théorème de Hessenberg^[2].

Somme et produit infinis, exponentiation

Points fixes

Pour tout ordinal α :

Dans beaucoup de cas, est strictement supérieur à α. Cependant, certains ordinaux limites sont des points fixes de la fonction aleph. Le premier cardinal de ce type est la limite de la suite

Tout cardinal inaccessible est également un point fixe de la fonction aleph.

Voir aussi

• Beth (nombre)
• Georg Cantor
• Ensemble fini
• Ensemble infini
• Ensemble dénombrable
• Puissance du continu
• Hypothèse du continu
• Nombre cardinal
• Nombre transfini

Notes et références

Bibliographie

• René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles  [détail des éditions].
• Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions].
• (en)Yannis P. Moschovakis, Notes on Set Theory. Springer Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-28722-1.

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