Schema d'axiomes de remplacement

Le schéma d'axiomes de remplacement, ou schéma d'axiomes de substitution est un schéma d'axiomes de la théorie des ensembles introduit en 1922 indépendamment par Abraham Adolf Fraenkel et Thoralf Skolem. Il assure l'existence d'ensembles qui ne pouvaient être obtenus dans la théorie des ensembles de Ernst Zermelo, et offre ainsi un cadre axiomatique plus fidèle à la théorie des ensembles de Georg Cantor. En ajoutant à la théorie de Zermelo, le schéma d'axiomes de remplacement on obtient la théorie de Zermelo-Fraenkel, notée ZFC ou ZF, suivant que l'on comprend ou non l'axiome du choix. Pour abréger, on dit souvent schéma de remplacement, ou schéma de substitution.

Ce schéma étend le schéma d'axiomes de compréhension de la théorie de Zermelo. Son utilité n'intervient pas immédiatement. Il permet entre autres d'avoir « suffisamment » d'ordinaux, par exemple de définir la suite des alephs de Cantor, une suite indexée par les ordinaux, qui sont eux-mêmes des ordinaux qui représentent les cardinaux en présence de l'axiome du choix.

Le schéma d'axiomes

Informellement, le schéma de remplacement énonce que, un ensemble A étant donné, son image par une relation fonctionnelle, est un ensemble.

Dit ainsi, cela peut paraître plus simple que cela n'est réellement. Il faut préciser ce que l'on entend par « relation fonctionnelle ». Il s'agit d'une « fonction partielle » (en un sens intuitif, pas au sens de la théorie), sur la classe de tous les ensembles, qui est définie par une formule du langage de la théorie. Tout l'intérêt de l'axiome réside dans les cas où cette relation fonctionnelle ne correspond pas à une fonction de la théorie des ensembles étudiée, qui doit être alors définie comme un ensemble, (essentiellement un ensemble de couples). Dit autrement, on peut parler de classe fonctionnelle. Les cas particuliers où la classe fonctionnelle n'est pas une classe propre se déduisent des axiomes de la théorie de Zermelo (voir couple (mathématiques)).

Une autre façon d'énoncer le schéma de remplacement, équivalente en présence du schéma de compréhension, est d'ailleurs de dire que la restriction d'une classe fonctionnelle à un ensemble définit une fonction (qui peut être une fonction partielle sur l'ensemble en question).

Voyons comment écrire l'axiome dans le langage de la théorie des ensembles. Tout d'abord, étant donnée un prédicat à deux arguments, c’est-à-dire une formule F à deux variables libres x et y plus d'éventuels paramètres a₁ … a_p, on doit écrire que la relation entre x et y décrite par cette formule est fonctionnelle (a₁ … a_p étant fixés) :

∀x ∀y ∀y' [(F x y a₁ … a_p et F x y' a₁ … a_p) ⇒ y = y' ].

On peut donc écrire formellement le schéma d'axiomes ainsi (l'emploi des majuscules pour A et B, qui n'a aucune signification propre — il n'y a que des ensembles en théorie des ensembles — ne sert qu'à la lisibilité) :

∀a₁ … a_p { ∀x ∀y ∀y' [(F x y a₁ … a_p et F x y' a₁ … a_p) ⇒ y = y' ] ⇒ ∀A ∃B ∀ y [y ∈ B ⇔ ∃ x(x ∈ A et F x y a₁ … a_p) ] }

ce pour toute formule F n'ayant d'autres variables libres que x, y, a₁, … ,a_p.

Notez qu'il y a un axiome pour chaque prédicat F ; il s'agit donc bien d'un schéma d'axiomes. La formule F, les paramètres a₁ … a_p et l'ensemble A étant fixé, l'ensemble B ainsi défini est unique par l'axiome d'extensionnalité.

On utilise parfois une notation qui parle plus directement à l'intuition comme y = ϕ(x) pour une classe fonctionnelle F x y (on pourrait bien sûr ajouter des paramètres), dans le cas où la relation F est définie sur tout l'univers des ensembles. Le remplacement justifie cette notation, puisque ϕ(x) désigne l'unique ensemble obtenu par remplacement à partir de x pour la relation F.

Les formes de notation en compréhension comme :

{f(x) | x ∈ A}.

sont utilisées la plupart du temps quand f est une fonction (donc un ensemble) définie sur A, et dans ce cas leur justification se fait par le schéma de compréhension.

Utilisation du schéma de remplacement

Le schéma d’axiomes de remplacement est par exemple utile pour les définitions par induction sur un bon ordre. Ainsi, dans la théorie des ensembles de Zermelo, c'est-à-dire en l'absence du schéma de remplacement, on ne peut pas démontrer que tout ensemble bien ordonné est isomorphe à un ordinal de von Neumann.

Mais le schéma de remplacement est « inutile » si la relation fonctionnelle en jeu est un ensemble de couples, c’est–à–dire si c’est une fonction au sens de la théorie des ensembles. Dans ce cas, le schéma d'axiomes de compréhension, qui est plus simple à comprendre et à utiliser, suffit essentiellement (il faut l’axiome de la paire pour pouvoir construire les couples — voir l’article couple).

Par ailleurs, le schéma d'axiomes de compréhension est une conséquence — on pourrait même dire un cas particulier — du schéma de remplacement. De même l’axiome de la paire se déduit du schéma de remplacement en présence de l’axiome de l'ensemble des parties (voir chacun de ces articles).

Variantes

Une variante assez inessentielle, mais que l’on peut rencontrer, est de modifier le schéma de remplacement tel qu’énoncé ci-dessus, en supposant qu’en plus d’être fonctionnelle, la relation définie par F (avec les notations ci-dessus) est partout définie sur l’ensemble auquel s'applique l’axiome (A avec les notations ci-dessus).

Ainsi modifié, le schéma d’axiomes est évidemment conséquence du schéma original. Réciproquement, dès que l’on a une relation fonctionnelle définie en au moins un élément a de A, et dont nous appellerons b l’image par cette relation, on complète la relation F en associant b à tout élément de A où F n’est pas définie. On a ainsi déduit le schéma d’axiomes original de sa forme modifiée … sauf dans le cas où la relation fonctionnelle restreinte à A est vide. Ce cas n’est utile que pour définir l’ensemble vide. Et donc il faut énoncer l’axiome de l'ensemble vide pour déduire la forme originale de la forme modifiée, en particulier pour déduire le schéma d'axiomes de compréhension dans toute sa généralité. Cela ne milite pas pour ce choix.

Une variante, qui peut présenter un intérêt dans certains contextes, est celle du schéma d'axiomes de collection.

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