Ensemble Infini

Ensemble Infini

Ensemble infini

L'infini se définit par rapport au fini, mais le terme "fini" peut avoir plusieurs sens selon le contexte ; ainsi un segment de droite, limité en longueur, a un nombre infini de points.

Du point de vue de la théorie des ensembles, le fini se définit par un nombre d'éléments ; mais cela même demande à être clarifié, d'autant plus que ce concept de finitude peut varier selon la théorie dans laquelle on se place.

Un ensemble E est fini s'il existe une bijection de E sur un intervalle [1,n] formé par les nombres entiers naturels de 1 à n inclus, ou de façon équivalente sur l'intervalle [0,n-1] des n premiers entiers naturels.[1]

Il existe des définitions basées sur les propriétés intrinsèques des ensembles finis :[2]

  • Selon Dedekind, un ensemble E est fini exactement s'il n'existe aucun sous-ensemble propre B de E tel qu'on puisse définir une relation biunivoque entre E et B.
  • Selon Tarski, un ensemble E est fini exactement si toute famille non vide B de sous-ensembles de E admet un élément Bo minimal pour l'inclusion.

Ces deux définitions ne sont équivalentes que grâce à l'axiome du choix ; sans cet axiome, la définition de Tarski est la plus forte, et correspond à la définition donnée au début.

Si \quad E est un ensemble infini alors \mathrm{card}(E) \notin \mathbb{N}  : le cardinal de E n'est pas un entier naturel ; toutefois ceci présuppose que tout ensemble a un cardinal ; or cette affirmation repose sur l'axiome du choix.[3]

La classe la plus simple des ensembles infinis est la classe des ensembles infinis dits dénombrables (équipotents à \mathbb{N}). Une autre classe d'ensembles infinis est la classe des ensembles équipotents à \mathbb R qui sont parfois appelés ensembles continus. Se pose alors le problème de l'hypothèse du continu : existe-t-il un ensemble dont le cardinal est strictement compris entre \aleph_0, qui est le cardinal de \mathbb N et 2^{\aleph_0} qui est le cardinal de \mathbb{R} ? Cette proposition est indécidable dans le système d'axiomes ZFC.

Article détaillé : Nombre cardinal.

Notes et références

  1. ↑ Selon une terminologie largement acceptée, un entier est un ordinal α tel que tout β, Ø<β≤α a un prédécesseur ; alors l'intervalle [0,n-1] s'identifie à n lui-même, de sorte qu'un ensemble est fini exactement s'il est équipotent "à un entier".
  2. ↑ Roland Fraïssé, Logique mathématique, Vol.I, Gauthier-Villars Paris 1971, pp.12-13-14
  3. ↑ Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, P.U.F. Paris 1972 p. 38
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