Géométrie hyperbolique

Géométrie hyperbolique

En mathématiques, la géométrie hyperbolique (nommée parfois géométrie de Lobatchevski) est une géométrie non-euclidienne vérifiant les quatre premiers postulats de la géométrie euclidienne, mais pour laquelle le postulat euclidien des parallèles est remplacé par le postulat que « par un point extérieur à une droite passe plus d'une droite parallèle ». On démontre qu'alors il y a une infinité de droites parallèles.

En géométrie hyperbolique, le théorème de Pythagore n'est plus valable et la somme des angles d'un triangle n'est plus égale à 180°. Une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface.

Lobatchevski, Klein et Poincaré ont créé des modèles de géométrie non euclidienne dans lesquelles on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point. On peut citer, en deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré, ...

  • Il existe une infinité de droites qui, comme d1, d2 et d3, passent par le point M et sont parallèles à la droite D (représentation de Lobatchevski)

  • (représentation de Poincaré)

Sommaire

Historique

L'histoire de la géométrie hyperbolique semble commencer au début du XVIIIe siècle avec les travaux du mathématicien italien Giovanni Girolamo Saccheri[1], qui chercha à démontrer dans l'œuvre de sa vie, Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclide sans erreur), que les postulats d'Euclide étaient cohérents et nécessaires pour définir la géométrie euclidienne. Il chercha notamment, par une démonstration par l'absurde, à obtenir des contradictions en supposant faux le 5e postulat d'Euclide sur les parallèles.

Il échoua dans cette tentative, mais obtint en revanche - en supposant faux le 5e postulat - une grande quantité des théorèmes tout à fait cohérents entre eux, qui appartiennent maintenant à la géométrie hyperbolique. Mais il ne réalisa pas qu'il avait sous les yeux une nouvelle géométrie, et considéra son œuvre et sa vie comme un échec.

Au milieu du XVIIIe siècle, Johann Heinrich Lambert étudia également les conséquences de la négation du 5e postulat d'Euclide, et obtint des théorèmes et des résultats précis appartenant à la géométrie hyperbolique, comme la formule donnant la somme des angles d'un triangle en fonction de sa surface, en géométrie hyperbolique :

CΔ = π − (α + β + γ)

où α,β,γ sont les angles des trois sommets du triangle, C un coefficient de proportionnalité, et Δ la surface du triangle. Vers la fin de sa vie, il semble qu'il ait réalisé que ces théorèmes manifestaient l'existence d'une authentique géométrie "sur une sphère de rayon imaginaire"[1].

Ce sont, près d'un siècle plus tard, les travaux de Carl Friedrich Gauss qui sont généralement reconnus comme étant le véritable point de départ de la géométrie hyperbolique, bien que ceux-ci n'aient jamais été publiés de son vivant. Il formula dans ses notes une théorie structurée, et il semble qu'il avait pleinement conscience que cette géométrie avait un statut mathématique équivalent à celui de la géométrie euclidienne. Il aurait même essayé de mesurer, par des expériences de géodésie, si la géométrie hyperbolique n'était pas à grande échelle la géométrie réelle de l'univers[2].

Au cours du XIXe siècle, la géométrie hyperbolique a été redécouverte et explorée de manière extensive par Nikolaï Lobatchevski en 1830 et indépendamment par János Bolyai en 1832.

Eugenio Beltrami proposa en 1868 plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique, dont la représentation conforme et projective, redécouvertes par la suite respectivement par Henri Poincaré et Felix Klein. Il démontra également que si la géométrie euclidienne est mathématiquement cohérente, alors la géométrie hyperbolique l'est aussi nécessairement.

Représentations de la géométrie hyperbolique

Une représentation d'une géométrie est un modèle permettant de représenter graphiquement et de manière cohérente une géométrie et ses propriétés. Par exemple, le diagramme de Minkowski est une représentation de la géométrie minkowskienne.

Il existe plusieurs représentations de la géométrie hyperbolique; aucune n'est plus "vraie" ou plus "réelle" qu'une autre; elles sont équivalentes sur le plan mathématique. Il existe d'ailleurs un isomorphisme entre la représentation projective et la représentation conforme.

Représentation de Klein ou représentation projective

Disque de Poincaré, ou représentation conforme

Article détaillé : Disque de Poincaré.

Demi-plan de Poincaré

Article détaillé : Demi-plan de Poincaré.

Représentation de Lorentz, ou représentation hyperboloide

Dynamique chaotique

Le flot géodésique sur une variété riemannienne à courbure négative est le prototype de système dynamique à temps continu le plus chaotique qui soit, une propriété remarquée dès 1898 par Hadamard[3]. On sait aujourd'hui que ce flot est, par ordre croissant d'irrégularités[4],[5] :

  • ergodique
  • mélangeant (« mixing »)
  • K-système (Anosov)
  • C-système = bernoullien[6].

Lire aussi : Chaos on the pseudosphere[7], Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas[8], Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane[9].

Annexes

Articles connexes

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Bibliographie

Ouvrages de mathématiques

Géométrie
  • Nikolai I. Lobachevsky ; Pangeometry. Edited and translated by Athanase Papadopoulos. Heritage of European Mathematics. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p. (2010). ISBN 978-3-03719-087-6/hbk
  • John Stillwell ; Geometry of Surfaces, Universitext, Springer-Verlag (1992), ISBN 0-387-97743-0.
  • Birger Iversen ; Hyperbolic Geometry, London Mathematical Society Student Texts 25, Cambridge University Press (1992), ISBN 0-521-43528-5.
  • Toshitsune Miyake ; Modular forms, Springer-Verlag (1989), ISBN 0-387-50268-8. Attention, ce n'est pas un livre pour débutant !
Chaos
  • Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27.
  • Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
  • Donald S. Ornstein & Benjamin Weiss ; Geodesic flows are Bernouillians, Isreal Journal of Mathematics 14 (1973) 184.
  • Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley (1988).

Références pour physiciens théoriciens

  • Nandor Balasz & André Voros ; Chaos on the pseudosphere, Physics Report 143 (1986) 109.
  • Yves Colin de Verdière ; Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'Ecole d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.
  • Charles Schmit ; Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'Ecole d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.

Lien externe

Références

  1. ↑ a et b Roger Penrose. A la découverte des lois de l'univers Odile Jacobs 2007. Chap 2.4
  2. ↑ J. Gray Ideas of space : Euclidian, Non-euclidian, and Relativistic Oxford University Press. 1979
  3. ↑ Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27.
  4. ↑ Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley (1988).
  5. ↑ Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
  6. ↑ Donald S. Ornstein & Benjamin Weiss ; Geodesic flows are Bernouillians, Isreal Journal of Mathematics 14 (1973) 184.
  7. ↑ Nandor Balasz & André Voros ; Chaos on the pseudosphere, Physics Report 143 (1986) 109.
  8. ↑ Yves Colin de Verdière ; Hyperbolic geometry in two dimensions and trace formulas, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'Ecole d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.
  9. ↑ Charles Schmit ; Quantum and classical properties of some billiards on the hyperbolic plane, dans : Marie-Joya Giannoni, André Voros & Jean Zinn-Justin (éditeurs) ; Chaos & Quantum Physics, Proceeedings de l'Ecole d'Eté de Physique Théorique des Houches (1989) Session LII, North-Holland (1991), ISBN 0-444-89277-X.
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