Groupe de lie compact

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Groupe de Lie compact

Un groupe de Lie compact est un groupe de Lie réel ou complexe dont l'espace topologique sous-jecent est compact. Un groupe de Lie réel compact admet une métrique riemannienne invariante par translations à droite et à gauche. La classification des groupes de Lie complexes compacts est connue : ils sont tous commutatifs.

Sommaire

Groupe de Lie réel compact

Représentation d'un groupe de Lie compact

Article détaillé : Représentation d'un groupe de Lie compact.

Un groupe de Lie réel compact G est un exemple de groupe topologique compact. En tant que tel, il admet une unique mesure de probabilité invariante par translation à gauche, appelée la mesure de Haar de G. Toute représentation du groupe G de dimension finie est équivalente à une représentation unitaire. Plus exactement, pour tout espace vectoriel réel ou complexe V et tout morphisme de groupes de Lie \rho:G\rightarrow GL(\mathbf{g}), il existe une structure euclidienne et hermitienne sur V invariante par l'action de G : l'application ρ est à valeurs dans les groupe orthogonal ou groupe unitaire associés.

Métrique riemannienne biinvariante

Pour tout groupe de Lie réel connexe G, toute structure euclienne sur l'espace tangent \mathbf{g} de G en l'élément neutre induit par transport des structures une unique métrique riemannienne sur G invariante par translation à gauche. Si le groupe n'est pas commutatif, cette métrique n'a aucune raison d'être invariante par translation à droite.

Si mg et dg sont les multiplications à gauche et à droite par g et par g-1 ; par définition, la différentielle en l'élément neutre de mgdg est ad(g). Via la correspondance précédente, les métriques riemmanniennes biinvariantes sur G correspondent exactement aux structures euclidiennes sur \mathbf{g} invariantes par la représentation adjointe.

L'existence d'une structure euclidienne invariante par la représentation adjointe découle précisément des considérations générales sur les représentations.

Pour une telle métrique riemannienne, les multiplications à gauche et à droite sont des isométries riemanniennes. Les sous-groupes à un paramètres sont les géodésiques de G passant par l'élément neutre. Comme G est compact, le théorème de Hopf-Rinow implique l'existence d'une géodésique de l'élément neutre à n'importe quel élément de G. Ainsi :

  • L'application exponentielle est surjective.

Groupe de Lie complexe compact

  • Un groupe de Lie compact complexe G est commutatif.

La représentation adjointe de G est une application holomorphe ad:G\rightarrow GL_{\mathbf{C}}(\mathfrak{g}). Comme G est une variété complexe compacte, l'application ad est constante, égale à sa valeur en l'élément neutre. De suite, le crochet de Lie sur son algèbre de Lie est trivial ; et la loi de groupe est commutative.

Les groupes de Lie complexes compacts G de dimension 1 sont les quotients de \mathbf{C} par ses réseaux. Un réseau de \mathbf{C} est un sous-groupe additif discret de rang 2.

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