Fractal

Fractal

Fractale

Fractales

On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne. Le terme « fractale » est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier (fractales n.f). Ce terme était au départ un adjectif : les objets fractals. Dans Le Trésor des Paradoxes (Philippe Boulanger & Alain Cohen, Éd. Belin, 2007), les fractals sont définis de manière paradoxale, en référence aux structures gigognes dont ils constituent des cas particuliers : « Les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point –et pas seulement en un certain nombre de points, les attracteurs de la structure gigogne classique. Cette conception hologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition tautologique : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal ». Malgré les apparences, ce type de définitions de nature récursive n'est pas seulement théorique mais peut concerner aussi des concepts usuels : un ancêtre est un parent ou un ancêtre d'un parent, un multiple est un composé d'un nombre ou d'un multiple de ce nombre, un escalier commence ou prolonge un escalier, une dynastie inaugure ou prolonge une dynastie, etc.

Sommaire

Caractéristiques

Construction animée : courbe de Koch

Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :

  • il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes ;
  • il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels ;
  • il est exactement ou statistiquement autosimilaire, c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties ;
  • sa dimension de Hausdorff est strictement supérieure à sa dimension topologique. Pour exprimer la chose autrement, un réseau d'irrigation est un déploiement de lignes (« en 1D ») qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (« en 2D »). La surface du poumon (« en 2D ») est repliée en une sorte de volume (« en 3D »). De façon imagée, les fractales se caractérisent par une sorte de dimension non-entière.

Domaines de validité

Les fractales n'ont pas à satisfaire toutes les propriétés mentionnées ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de Mandelbrot Les Objets fractals en donne une grande variété d'exemples). La taille des alvéoles du poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale, est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule d'oxygène à température du corps.

La dimension utilisée est celle de Hausdorff, et on observe qu'elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connait les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre pour les montagnes, les nuages, etc.

Des exemples de fractales sont les ensembles de Julia et de Mandelbrot, la fractale de Lyapunov, l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano ou le flocon de Koch. Les fractales peuvent être des fractales déterministes ou stochastiques. Elles apparaissent souvent dans l'étude des systèmes chaotiques.

Les fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :

  1. Les systèmes de fonctions itérées. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch) ;
  2. Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe). Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et la fractale de Lyapunov ;
  3. Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemples les paysages fractals.

De toutes ces fractales, seules celles construites par des systèmes itérés de fonctions affichent habituellement la propriété d'autosimilitude, signifiant que leur complexité est invariante par changement d'échelle.

Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, les turbulences de liquide, les lignes des côtes et les arbres. Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans la compression d'image fractale, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.

Dimension fractale

La dimension d'une ligne droite, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Une fois fixé une origine et un sens, chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre, qui définit la distance entre l'origine et le point. Le nombre est pris négativement s'il faut se déplacer dans le sens opposé à celui choisi au départ.

La dimension d'une figure simple dans le plan est de 2. Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres. La dimension d'un corps simple dans l'espace est de 3.

Une figure telle qu'une fractale n'est pas simple. Sa dimension n'est plus aussi facile à définir et n'est plus forcément entière. La dimension fractale, plus complexe, s'exprime à l'aide de la dimension de Hausdorff.

Quand la fractale est formée de réplications d'elle-même en plus petit, sa dimension fractale peut se calculer comme suit :

d = \frac{\ln(n)}{\ln(h)}

où la fractale de départ est formée de n exemplaires dont la taille a été réduite d'un facteur h (pour homothétie).

Quelques exemples :

  • Un côté du flocon de Koch est formé de n = 4 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut :

d= \frac{\ln(4)}{\ln(3)} \simeq 1,2618595...

  • Le triangle de Sierpinski est formé de n = 3 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 2 . Sa dimension fractale vaut :

d= \frac{\ln(3)}{\ln(2)} \simeq 1,5849625...

  • Le tapis de Sierpinski est formé de n = 8 exemplaires de lui-même réduit d'un facteur h = 3. Sa dimension fractale vaut :

d= \frac{\ln(8)}{\ln(3)} \simeq 1,892789...

Fractales dans la nature

Le chou romanesco, un exemple de fractale naturelle
Une fougère fractale modélisée en utilisant un système de fonctions itérées.

Des fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. Ces objets ont une structure autosimilaire sur une échelle étendue, mais finie : les nuages, les flocons de neige, les montagnes, les réseaux de rivières, le chou-fleur ou le brocoli, et les vaisseaux sanguins.

Les arbres et les fougères sont de nature fractale et peuvent êtres modélisés par ordinateur à l'aide d'un algorithme récursif. La nature récursive est évidente dans ces exemples ; la branche d'un arbre ou la fronde d'une fougère sont des répliques miniatures de l'ensemble : pas identiques, mais de nature similaire.

La surface d'une montagne peut être modélisée sur ordinateur en utilisant une fractale : prenons un triangle dans un espace tridimensionnel dont nous connectons les milieux de chaque côté par des segments, il en résulte quatre triangles. Les points centraux sont ensuite déplacés aléatoirement vers le haut ou le bas, dans un rayon défini. La procédure est répétée, diminuant le rayon de moitié à chaque itération. La nature récursive de l'algorithme garantit que le tout est statistiquement similaire à chaque détail.

Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'Univers à six échelles différentes. Les effondrements successifs de nuages interstellaires, dus à la gravité, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers basé sur les fractales.

Domaines d'application

Les domaines d'application des fractales sont très nombreux, on peut citer en particulier[1]

Tous ces domaines - et bien d'autres - peuvent bénéficier de la description et d'une modélisation en termes fractals des phénomènes associés.

Galerie de photos

Voir aussi

  • Fractint est un ensemble logiciel libre, gratuit et open source destiné à tracer de nombreux types de fractales.
  • Sterling est un générateur de fractales gratuit pour Windows.
  • XaoS est un outil interactif francophone permettant une découverte à la fois technique et poétique des fractales.

Méthodes informatiques de calcul

Utilisations industrielles

Surface spécifique de Blaine : La finesse de broyage d'un ciment est exprimée en termes de surface spécifique (cm²/g) et mesurée par le test de Blaine, dit de perméabilité à l'air, utilisant la relation d'Arcy-Kozeny qui établit que la traversée d'un lit de granules par un fluide est affectée par la surface spécifique des granules. Ainsi, en calculant la durée que met un gaz sous pression à traverser un volume donné de granules, on en déduit la surface des granules. Plus le broyage est fin, plus la surface calculée est importante. Cette expérience se produisant dans un volume déterminé, on peut imaginer obtenir une surface développée infinie en broyant toujours plus finement le ciment. Il s'agit là d'une utilisation industrielle d'un modèle expliqué par les mathématiques fractales (un objet de dimension n de mesure finie, borné par une frontière de dimension n − 1, de mesure tendant vers l'infini).

Bibliographie

  • Kenneth Falconer, Fractal Geometry, 1990, John Wiley & Son Ltd. ISBN 0471922870
  • Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, 1982, W. H. Freeman & Co. ISBN 0716711869. Trad. : Les objets fractals. Forme, chance et dimension, Flammarion, 2° éd. 1984.
  • Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, 1988, Springer Verlag, ISBN 0387966080.
  • Heinz-Otto Peitgen, Fractals for the classroom, New York, Springer Verlag, 1993.
  • Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann. ISBN 0120790610
  • Bernard Sapoval, Universalités et fractales, Flammarion, coll. Champs.
  • Jacques Dubois & Jean Chalin, Le monde des fractales, 2006, Ed Ellipses, ISBN 9782729827823.

Notes et références

  1. Le monde des fractales, Jacques Dubois & Jean Chaline

Articles connexes

Commons-logo.svg

Wiktprintable without text.svg

Voir « fractale » sur le Wiktionnaire.

Liens externes

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie

Ce document provient de « Fractale ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fractal de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • fractal — fractal, ale [ fraktal ] adj. et n. f. • 1975; dér. sav. du lat. fractus « brisé » ♦ Didact. Objet fractal : objet mathématique servant à décrire des objets de la nature dont les formes découpées laissent apparaître à des échelles d observation… …   Encyclopédie Universelle

  • fractal — FRACTÁL, Ă, fractáli, e, s.m. şi adj. (Se spune despre o) Curbă sau formă foarte neregulată pentru care orice parte aleasă în mod convenabil devine similară ca formă cu o alta mai mare sau mai mică în momentul în care cea dintâi este mărită,… …   Dicționar Român

  • fractal — 1975, from Fr. fractal, from L. fractus interrupted, irregular, lit. broken, pp. of frangere to break (see FRACTION (Cf. fraction)). Coined by French mathematician Benoit Mandelbrot in Les Objets Fractals. Many important spatial patterns of… …   Etymology dictionary

  • fractal — adj. 2 g. 1.  [Matemática] Diz se de objetos matemáticos cuja forma é irregular e fragmentada: Objeto fractal; geometria fractal. • s. f. 2.  [Matemática] Conjunto geométrico ou objeto natural cujas partes têm a mesma estrutura (irregular e… …   Dicionário da Língua Portuguesa

  • fractal — (Del fr. fractal, voz inventada por el matemático francés B. Mandelbrot en 1975, y este del lat. fractus, quebrado). m. Fís. y Mat. Figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución …   Diccionario de la lengua española

  • Fractal —   [engl.], Fraktal …   Universal-Lexikon

  • fractal —  Fractal  Фрактал   Бесконечная самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Фракталами также называют самоподобные множества нецелой размерности. Самоподобное множество множество, которое можно …   Толковый англо-русский словарь по нанотехнологии. - М.

  • fractal — ☆ fractal [frak′təl ] n. [< L fractus (see FRACTUS) + AL] Geom. an extremely irregular line or surface formed of an infinite number of similarly irregular sections: fractals have fractional dimension between one and two, or between two and… …   English World dictionary

  • Fractal — A fractal is generally a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced size copy of the whole, [cite book last = Mandelbrot first = B.B. title = The Fractal Geometry of… …   Wikipedia

  • Fractal — Este artículo o sección sobre matemáticas necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo. Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 16 de octubre de 2010. También puedes… …   Wikipedia Español

  • fractal — /frak tl/, n. Math., Physics. a geometrical or physical structure having an irregular or fragmented shape at all scales of measurement between a greatest and smallest scale such that certain mathematical or physical properties of the structure,… …   Universalium

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”