Relation de recurrence
- Relation de recurrence
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Relation de récurrence
Dans une suite, une relation de récurrence est une équation dans laquelle l'expression de plusieurs termes de la suite apparait, par exemple:
ou
ou
- (un + 2)2 − un − un + 1 = 0
ou si l'on se place dans les suites de mots sur l'alphabet {a,b}:
- αn + 1 = aαnbb
Si la relation de récurrence a une « bonne » présentation, cela permet de calculer l'expression du terme d'indice le plus élevé en fonction de l'expression des autres. Par exemple dans la dernière équation, si on admet que les un sont des réels positifs, on peut écrire:
Une relation de récurrence et la donnée de « suffisamment » de termes initiaux permettent souvent de déterminer l'expression de tous les termes d'une suite (voir définition par récurrence).
Un relation de récurrence très simple est celle qui lie le terme d'indice n + 1 au terme d'indice n.
- Exemple — On définit les puissances zn d'une variable z par la relation de récurrence :
-
et l'initialisation z0 = 1.
- Exemple — La suite de Fibonacci est définie par la donnée de u0 = 1 et u1 = 1 et par la relation de récurrence un + 2 = un + un + 1 ; cette relation de récurrence est dite « linéaire ».
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récurrence — [ rekyrɑ̃s ] n. f. • 1842 anat.; de récurrent 1 ♦ Math., littér. Retour, répétition. « une récurrence des émotions de terreur que sa présence m infligeait dans cette salle » (Bourget). Phénomène répétitif. 2 ♦ Log., sc. Raisonnement,… … Encyclopédie Universelle
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