Formule sommatoire d'abel

Formule sommatoire d'Abel

En mathématiques, la formule sommatoire d'Abel est une formule utilisée intensivement en théorie analytique des nombres. Comme son nom l'indique, elle a été indiquée par Abel et sert à calculer des séries numériques.

Sommaire

1 Énoncé
2 Exemples

Énoncé

Soient $(a n)$ une suite de nombres réels ou complexes et $\varphi$ une fonction réelle de classe $\mathcal{C}^1$ .

On pose

$A(x) = \sum_{n \le x}{a_n}$

Alors

$\sum_{n \le x}{a_n\varphi(n)}=A(x)\varphi(x) - \int_1^x{A(u)\varphi'(u)\mathrm{d}u}$

En fait, il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes.

Exemples

Constante d'Euler-Mascheroni

$\sum_1^x{\frac{1}{n}}=\frac{[x]}{x}+\int_1^x{\frac{[u]}{u^2}\mathrm{d}u}$

dont on déduit une représentation intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni.

Représentation de la fonction zeta de Riemann

$\sum_1^\infty{\frac{1}{n^s}}=s\int_1^\infty{\frac{[u]}{u^{1+s}}\mathrm{d}u}$

Cette formule est valable pour $\Re(s)>1$ . On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction $ζ(s)$ admet un pôle simple de résidu 1 en s=1.

Représentation de l'inverse de la fonction zeta de Riemann

$\sum_1^\infty{\frac{\mu(n)}{n^s}}=s\int_1^\infty{\frac{M(u)}{u^{1+s}}\mathrm{d}u}$

Cette formule est valable pour $\Re(s)>1$ . Le symbole $μ$ désigne la fonction de Möbius et on a M, la fonction de Mertens, définie par

$M(u) = \sum_{n \le u}{\mu(n)}$

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Catégories : Théorie analytique des nombres | Analyse complexe

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