Formule de Perron

Formule de Perron
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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la somme d'une fonction arithmétique, au moyen d'une transformation de Mellin inverse.

Sommaire

Première formule de Perron

Soit \{a(n)\}\, une fonction arithmétique, soit

A(x) = {\sum_{n\le x}}^\star {a(n)},

où l'étoile sur le symbole de sommation indique que le dernier terme doit être mulitiplié par 1/2 quand x est entier.

Nous supposons que la série de Dirichlet

f(s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}}

est absolument convergente pour \Re(s)>\sigma_a\,.

Alors, la formule de Perron est : pour tous réels c>0\, et x>0\,,

A(x)=\frac1{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} f(u)\frac{x^{u}}u~\mathrm du.

Deuxième formule de Perron

Soit f(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}} pour σ > σc où a_n= \mathcal{O}\left(\psi(n)\right), la fonction ψ(n) étant supposée non décroissante.

On suppose de plus que \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|a(n)|}{n^{\sigma}} =\mathcal{O}\left(\frac1{(\sigma-\sigma_a)^\alpha}\right) quand \sigma \rightarrow \sigma_a.

Alors, si c > 0, σ + c > σa, x un nombre non entier et en appelant N l'entier le plus proche de x, on a

\sum_{n < x} \frac{a(n)}{n^{s}}=\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT}f(u+s)\frac{x^{u}}{u}\; du+\mathcal{O}\left(\frac{x^c}{T(\sigma+c-\sigma_a)^\alpha}\right)+ \mathcal{O}\left(\frac{\psi(2x)x^{\sigma_a-\sigma}\ln x}{T}\right)+ \mathcal{O}\left(\frac{\psi(N)x^{\sigma_a-\sigma}}{T(x-N)}\right)

Preuve

Une esquisse facile de la preuve de la première formule de Perron est donnée en utilisant la formule sommatoire d'Abel

g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s} }=s\int_{1}^{\infty} \frac{A(x)}{x^{s+1}}~\mathrm dx.

Ce n'est rien d'autre qu'une transformation de Laplace pour le changement de variable x=e^t\,. En inversant cela, on obtient la première formule de Perron.

Pour une preuve analytique de la deuxième formule de Perron, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus.

« Soit h(x) la fonction valant 0 sur l'intervalle [0,1[, 1 sur l'intervalle x>1 (et 1/2 pour x=1).

Alors, pour x différent de 1

\frac1{2i\pi}\int_{c-iT'}^{c+iT} \frac{x^u}u~\mathrm du = h(x)+\mathcal{O}\left(\frac{x^c}{2\pi |\ln x|}\left(\frac1{T}+\frac1{T'}\right)\right),

et pour x=1

\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT} \frac{x^u}u~\mathrm du = h(1)+\mathcal{O}\left(\frac{c}{T+c}\right). »

Il reste ensuite à multiplier par an / ns et sommer sur n.

Exemples

A cause de sa relation générale avec les séries de Dirichlet, la formule est communément appliquée à de nombreuses sommes de la théorie des nombres. Ainsi, par exemple, on a la représentation intégrale célèbre pour la fonction zêta de Riemann :

\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\lfloor x\rfloor}{x^{s+1}}~\mathrm dx

et une formule similaire pour les fonctions L de Dirichlet :

L(s,\chi)=s\int_1^\infty \frac{A(x)}{x^{s+1}}~\mathrm dx

où

A(x)=\sum_{n\le x} \chi(n)\,

et \chi(n)\, est un caractère de Dirichlet. D'autres exemples apparaissent dans les articles sur la fonction de Mertens et la fonction de von Mangoldt.

Références


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