Lemme d'Abel

Lemme d'Abel

Sommation par parties

La sommation par parties est l'équivalent pour les séries de l'intégration par parties. On l'appelle également transformation d'Abel ou sommation d'Abel.

Sommaire

Méthode

Soient deux suites (a_n) \, et (b_n) \,, avec n \in \N. On considère la série suivante :
S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n

Si on pose B_n = \sum_{k=0}^n b_k ,
alors pour tout n>0, b_n = B_n - B_{n-1} \,

S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1})
S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1})
On obtient finalement l'égalité suivante : S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)

Cette opération, qui transforme l'expression de la série à étudier, est utile pour prouver certains critères de convergence de S_N \, .

Similitude avec l'intégration par parties

La formule de l'intégration s'écrit : \int_a^b f(x) g'(x)\,dx = \left[ f(x) g(x) \right]_{a}^{b} - \int_a^b f'(x) g(x)\,dx
Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale (g' \, devient g \,) et à dériver l'autre (f \, devient f' \,).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans le domaine discret, puisque l'une des deux séries est sommée (b_n \, devient B_n \,) et l'autre est différenciée (a_n \, devient a_{n+1} - a_n \,).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Applications

On se place par la suite dans le cas où a_N b_N \rightarrow 0, car sinon on sait que (S_N)\, est grossièrement divergente.

Si (B_n) \, est bornée par un réel M et que \sum_{n\ge0}(a_{n+1} - a_n) est une série absolument convergente, alors la série (S_N)\, est convergente.

|S_N| \le |a_N B_N| + \sum_{n=0}^{N-1} |B_n| |a_{n+1}-a_n|

La somme de la série vérifie par ailleurs l'inégalité : S = \sum_{n=0}^\infty a_n b_n \le M \sum_{n=0}^\infty |a_{n+1}-a_n|

Exemples

  1. a_n = \frac{1}{n+1} et b_n = (-1)^n \,
    |B_n| \le 1 et |a_{n+1}-a_n| = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \le \frac{1}{n^2}
    On sait que la série \sum_0^\infty \frac{1}{n^2} converge (voir fonction zêta de Riemann), donc les conditions exposées ci-dessus sont toutes réunies.
    S = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... converge.
    NB: Cet exemple peut également être prouvé grâce au critère de convergence des séries alternées.
  2. a_n = \frac{1}{n} et b_n = \sin(n) \,
    (Nous ne définissons ici la somme qu'à partir du rang n=1 au lieu de n=0, mais cela n'affecte en rien l'existence de la limite de la série.)
    Comme précédemment \sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n}) converge absolument, et \sum_{k=1}^n \sin(k) est bornée d'après l'expression du noyau de Dirichlet.
    Par conséquent \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n} converge.
  3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel.
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