Formule sommatoire de Poisson

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La formule sommatoire de Poisson (parfois appelée resommation de Poisson) est une identité entre deux sommes infinies, la première construite avec une fonction $f$ , la seconde avec sa transformée de Fourier $\hat f$ . Ici $f$ est une fonction sur l'axe réel, ou plus généralement sur l'espace euclidien à $n$ dimensions. La formule a été découverte par Siméon Denis Poisson.

Elle, et ses généralisations, sont importantes dans plusieurs domaines des mathématiques, dont la théorie des nombres, l'analyse harmonique, et la géométrie riemannienne. L'une des façons d'interpréter la formule unidimensionnelle est d'y voir une relation entre le spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur le cercle et les longueurs des géodésiques périodiques sur cette courbe. La formule des traces de Selberg, à l'interface de tous les domaines cités plus haut et aussi de l'analyse fonctionnelle, établit une relation du même type, mais au caractère beaucoup plus profond, entre spectre du Laplacien et longueurs des géodésiques sur les surfaces à courbure constante négative (tandis que les formules de Poisson en $n$ dimensions sont reliées au Laplacien et aux géodésiques périodiques des tores, espaces de courbure nulle).

Sommaire

1 Formule sommatoire de Poisson
2 Applications de la resommation de Poisson
3 Interprétation géométrique
4 Généralisations
5 Articles connexes
6 Bibliographie

Formule sommatoire de Poisson

Notations

Soit une fonction $f\,$ dont la transformée de Fourier est notée $\hat{f}$ , c’est-à-dire :

$f(x) = {1\over 2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) \ e^{ i x \omega} \ d \omega$ , et $\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ e^{- i x \omega} \ dx$ .

Théorème

Soit f une fonction complexe sur $\R$ deux fois continûment différentiable ; on suppose que f et ses deux premières dérivées sur $\R$ sont intégrables, et qu'elle satisfait l'estimation

$\forall x\in \R,\quad |f(x)|\le \frac{C}{1+x^2}.$

Soit $a$ un nombre strictement positif. Notons $ω 0 = 2π / a$ , le mode fondamental, et $\hat f$ la transformée de Fourier de $f$ . Alors, on a l'identité suivante:

$S(t) \equiv \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t + n a) = \frac{1}{a} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \hat{f}(m \omega_0) \ e^{i m \omega_0 t}$ .

Démonstration de la formule

Le membre de gauche de la formule sommatoire de Poisson est la somme d'une série de fonctions continues. L'hypothèse faite sur le comportement de f à l'infini implique que cette série converge normalement sur tout compact [-a,a] de $\R$ . Par conséquent, sa somme est une fonction continue, et la formule de définition montre qu'elle est périodique de période a.

Nous pouvons donc calculer les coefficients de sa série de Fourier en exponentielles complexes:

$c_m=\int_0^a \sum_{n\in\Z} f(t+na)e^{-2\mathrm{i}\pi mt/a}\, dt.$

Du fait de la convergence normale de la série définissant S, on peut échanger intégration et sommation, et écrire ainsi

$c_m=\sum_{n\in\Z}\int_0^a f(t+na) e^{-2\mathrm{i}\pi mt/a}\, dt.$

Si on effectue dans chaque intégrale le changement de variable t+na=s, on obtient

$c_m=\sum_{n\in\Z}\int_{na}^{(n+1)a} f(s) e^{-2\mathrm{i}\pi m(s-na)/a}\, ds=\hat f(2m\pi/a).$

D'après nos hypothèses sur f et ses dérivées, et les identités classiques sur la transformée de Fourier d'une dérivée, on voit que la fonction $\hat f$ vérifie l'estimation

$\forall \omega\in \R, \quad |\hat f(\omega)|\le \hat C/(1+\omega^2).$ .

Par conséquent, la série des $c m$ est absolument convergente ; on est dans une situation où on peut sommer la série de Fourier de S, et on obtient

$S(t)=\frac{1}{a}\sum_{m\in \Z}c_m e^{2\mathrm{i}\pi mt/a}=\frac{1}{a}\sum_{m\in\Z}\hat f(2m\pi/a) e^{2\mathrm{i}\pi mt/a}.$

C'est la formule désirée, modulo le remplacement de $2π / a$ par $ω 0$ .

Convention alternative

Si on utilise les conventions suivantes :

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{F}(\nu) \ e^{- \, 2 \pi i x \nu} \ d \nu$ , $\tilde{F}(\nu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ e^{+ \, 2 \pi i x \nu} \ dx$ ,

alors la formule sommatoire de Poisson se réécrit (avec $t=0\,$ et $a=1\,$ ) :

$\sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) \ = \ \sum_{m \in \mathbb{Z}} \tilde{F}(m)$ .

Sur les conditions de convergence

Une façon pratique de passer outre les conditions de régularité imposées à la fonction $f\,$ est de se placer dans le contexte plus général de la théorie des distributions. Si on note $\delta (x)\,$ la distribution de Dirac alors si on introduit la distribution suivante :

$\Delta (x) \equiv \sum_{n\in\mathbb{Z}}\delta (x-n),$

une façon élégante de reformuler la sommation est de dire que $\Delta (x)\,$ est sa propre transformée de Fourier.

Applications de la resommation de Poisson

Les exemples les plus élémentaires de cette formule permettent de déterminer des sommes simples d'entiers :

$S \equiv \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6},$

ou bien encore :

$S \equiv -\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^4}= \frac{7\pi^4}{720}.$

En les convertissant en séries géométriques qui peuvent être sommées exactement.

De façon générale, la resommation de Poisson est utile dans la mesure où une série qui converge lentement dans l'espace direct peut être transformée en une série convergeant beaucoup plus vite dans l'espace de Fourier(si on prend l'exemple de fonctions gaussiennes, une gaussienne de grande variance dans l'espace direct est convertie en une gaussienne de variance petite dans l'espace de Fourier). C'est l'idée essentielle qui sous-tend la sommation d'Ewald.

Interprétation géométrique

Définitions

Le cercle plat, ou tore T à une dimension, est une courbe compacte de courbure nulle qui peut se représenter comme l'espace quotient de la droite euclidienne $\mathbb{R}$ par un sous-groupe discret $a \mathbb{Z}$ du groupe des isométries :

$T \ = \ \mathbb{R} \ / \ a \mathbb{Z}.$

Géodésiques périodiques

Les géodésiques périodiques du tore plat ont pour longueurs :

$l_n \ = \ n \, a \ , \quad n \ \in \ \mathbb{N}.$

Spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami

Considérons l'opérateur de Laplace sur T :

$\Delta \ u(x) \ = \ \frac{d^2 u(x)}{d x^2}.$

Cherchons en particulier ses valeurs propres $λ n$ , solution de l'équation aux valeurs propres :

$- \ \Delta \ u_n(x) \ = \ \lambda_n \ u_n(x).$

où les fonctions propres sont dans $u_n(x) \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ et vérifient la condition de périodicité :

$\forall \ p \ \in \ \mathbb{Z} \ , \quad u_n( x + p a ) \ = \ u_n(x).$

Ces valeurs propres forment une suite dénombrable :

$\lambda_n \ = \ \frac{4 \pi^2 n^2}{a^2} \ , \quad n \ \in \ \mathbb{N},$

qu'on peut ranger par ordre croissant :

$0 = \lambda_0 < \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots .$

Généralisations

On peut facilement formuler une généralisation de cette formule en dimension $n\,$ . Étant donné un réseau $\Lambda\subset\mathbb{R}^n\,$ alors on peut définir le réseau dual $\Lambda'\,$ (comme formes dans l'espace vectoriel dual à valeur entière sur $\Lambda\,$ ou via la dualité de Pontryagin). Alors si on considère la distribution de Dirac multidimensionnelle qu'on note encore $\delta (x)\,$ avec $x\in\mathbb{R}^n\,$ on peut définir la distribution

$\Delta_{\Lambda}(x)=\sum_{\lambda\in\Lambda}\delta (x-\lambda) \,$ .

Cette fois-ci on obtient une formule sommatoire de Poisson en remarquant que la transformée de Fourier de $\Delta_{\Lambda} (x)\,$ est $\Delta_{\Lambda'} (x)\,$ (en considérant une normalisation appropriée de la transformée de Fourier).

Cette formule est souvent utilisée dans la théorie des fonctions thêta. En théorie des nombres on peut généraliser encore cette formule au cas d'un groupe abélien localement compact. En analyse harmonique non-commutative cette idée est poussée encore plus loin et aboutit à la formule des traces de Selberg et prend un caractère beaucoup plus profond.

Un cas particulier est celui des groupes abéliens finis, la formule sommatoire de Poisson s'applique simplement (cf Analyse harmonique sur un groupe abélien fini) et possède de nombreuses applications à la fois théoriques en arithmétique et appliquées par exemple en théorie des codes et en cryptographie (cf fonction booléenne).

Bibliographie

Matthew R. Watkins ; page personnelle sur les liens entre la théorie des nombres et la physique théorique.

Catégories :

Analyse harmonique
Méthode mathématique de la physique
Analyse complexe
Théorie analytique des nombres
Théorème d'analyse

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