Formule de perron

Formule de Perron

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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie analytique des nombres, la formule de Perron est une formule d'Oskar Perron pour calculer la somme d'une fonction arithmétique, comme rapports d'une transformation de Mellin inverse.

Première formule de Perron

Soit $\{a(n)\}\,$ une fonction arithmétique, et soit

$f(s)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}}$

la série de Dirichlet correspondante. Nous supposons que la série de Dirichlet est absolument convergente pour $\Re(s)>\sigma_a\,$ . Alors, la formule de Perron est

$A(x) = {\sum_{n\le x}} {a(n)} =\frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} f(u)\frac{x^{u}}{u}\; du$

La formule requiert $c>0\,$ et $x>0\,$ réel, mais arbitraire autrement. La formule reste valable pour $\Re(s)>\sigma_a - c\,$

Deuxième formule de Perron

Soit $f(s) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s}}$ pour $σ > σ c$ où $a_n= \mathcal{O}\left(\psi(n)\right),$ la fonction $ψ(n)$ étant supposée non décroissante.

On suppose de plus que $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{|a(n)|}{n^{\sigma}} =\mathcal{O}\left(\frac1{(\sigma-\sigma_a)^\alpha}\right)$ quand $\sigma \rightarrow \sigma_a.$

Alors, si $c > 0,$ $σ + c > σ a$ , $x$ un nombre non entier et en appelant $N$ l'entier le plus proche de $x$ , on a

$\sum_{n < x} \frac{a(n)}{n^{s}}=\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT}f(u+s)\frac{x^{u}}{u}\; du+\mathcal{O}\left(\frac{x^c}{T(\sigma+c-\sigma_a)^\alpha}\right)+ \mathcal{O}\left(\frac{\psi(2x)x^{\sigma_a-\sigma}\ln x}{T}\right)+ \mathcal{O}\left(\frac{\psi(N)x^{\sigma_a-\sigma}}{T(x-N)}\right)$

Preuve

Une esquisse facile de la preuve de la première formule de Perron est donnée en utilisant la formule sommatoire d'Abel

$g(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a(n)}{n^{s} }=s\int_{1}^{\infty} \frac{A(x)}{x^{s+1}}dx.$

Ce n'est rien d'autre qu'une transformation de Laplace pour le changement de variable $x=e^t\,$ . En inversant cela, on obtient la première formule de Perron.

Pour une preuve analytique de la deuxième formule de Perron, on part du lemme suivant établi par le calcul des résidus.

« Soit $h (x)$ la fonction valant 0 sur l'intervalle [0,1[, 1 sur l'intervalle x>1 (et 1/2 pour x=1).
Alors, pour x différent de 1

$\frac1{2i\pi}\int_{c-iT'}^{c+iT} \frac{x^u}{u}du = h(x)+\mathcal{O}\left(\frac{x^c}{2\pi |\ln x|}\left(\frac1{T}+\frac1{T'}\right)\right),$

et pour x=1

$\frac1{2i\pi}\int_{c-iT}^{c+iT} \frac{x^u}{u}du = h(1)+\mathcal{O}\left(\frac{c}{T+c}\right),$

»

Il reste ensuite à multiplier par $a n / n s$ et sommer sur $n$ .

Exemples

A cause de sa relation générale avec les séries de Dirichlet, la formule est communément appliquée à de nombreuses sommes de la théorie des nombres. Ainsi, par exemple, on a la représentation intégrale célèbre pour la fonction zeta de Riemann :

$\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\lfloor x\rfloor}{x^{s+1}}\,dx$

et une formule similaire pour les fonctions L de Dirichlet :

$L(s,\chi)=s\int_1^\infty \frac{A(x)}{x^{s+1}}\,dx$

où

$A(x)=\sum_{n\le x} \chi(n)\,$

et $\chi(n)\,$ est un caractère de Dirichlet. D'autres exemples apparaissent dans les articles sur la fonction de Mertens et la fonction de von Mangoldt.

Références

Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, Paris, 2008.
Tom Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer-Verlag, New York, 1976.

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Catégorie : Théorie analytique des nombres

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