Fonctions de Leibniz

Fonctions de Leibniz

En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement liées à la notion de barycentre qui permet d'en donner une forme simplifiée.

Fonction vectorielle de Leibniz

On se place dans un espace affine E associé à un espace vectoriel V. Soient (A_i)_{i=1 \cdots n} une famille de n points et (a_i)_{i=1 \cdots n} une famille de n scalaires, on appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système \left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}, l'application de E dans V qui, au point M associe le vecteur \vec f(M) = \sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{MA_i}

Si la somme des coefficients \sum_{i=1}^n a_i est nulle, cette fonction est constante. Si un des coefficients est non nul (par exemple a1), cette constante est égale à a_1\overrightarrow{G_1A_1} où G1 est le barycentre du système \left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=2 \cdots n}\right \}

Si la somme des coefficients \sum_{i=1}^n a_i est non nulle, cette fonction se simplifie en

\vec f(M) = \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\overrightarrow{MG}

Cette propriété permet de réduire une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs en un seul vecteur grâce à un barycentre. Elle permet aussi de donner les coordonnées du barycentre quand l'espace est de dimension finie.

En effet \overrightarrow{OG} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i}\vec f(O) = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{OA_i}.

Ce qui se traduit en termes de coordonnées par

x_{G,k} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n a_i x_{A_i,k}

Fonction scalaire de Leibniz

On se place dans un espace affine euclidien sur un corps \mathbb K. Soient (A_i)_{i=1 \cdots n} une famille de n points et (a_i)_{i=1 \cdots n} une famille de n scalaires, on appelle fonction scalaire de Leibniz associée au système \left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}, l'application de E dans \mathbb K qui, au point M associe le scalaire f(M) = \sum_{i=1}^n a_i MA_i^2

Si la somme des coefficients est nulle, cette fonction se simplifie en

f(M) = f(O) + 2\overrightarrow{MO}\cdot \vec u

où \vec u est la constante égale à la fonction vectorielle de Leibniz associée au système et où O est un point arbitrairement fixé.

Si la somme des coefficients est non nulle, cette fonction se simplifie en

f(M) = f(G) + \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) MG^2

où G est le barycentre du système \left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}

Cette réduction permet de résoudre plus simplement des problèmes de lieux de points (voir théorème de Leibniz)

Exemple : en dimension deux, l'ensemble des points M tels que f(M) = k est

  • dans le cas où la somme des coefficients est nulle
    • une droite orthogonale à \vec u si \vec u est non nul
    • tout le plan ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k) si \vec u est nul
  • dans le cas où la somme des coefficients est non nulle
    • un cercle de centre G, le point G ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k)

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonctions de Leibniz de Wikipédia en français (auteurs)

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