Fonctions de leibniz

Fonctions de Leibniz

En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement liées à la notion de barycentre qui permet d'en donner une forme simplifiée.

Fonction vectorielle de Leibniz

On se place dans un espace affine E associé à un espace vectoriel V. Soient $(A_i)_{i=1 \cdots n}$ une famille de n points et $(a_i)_{i=1 \cdots n}$ une famille de n scalaires, on appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système $\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}$ , l'application de E dans V qui, au point M associe le vecteur $\vec f(M) = \sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{MA_i}$

Si la somme des coefficients $\sum_{i=1}^n a_i$ est nulle, cette fonction est constante. Si un des coefficients est non nul (par exemple $a 1$ ), cette constante est égale à $a_1\overrightarrow{G_1A_1}$ où $G 1$ est le barycentre du système $\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=2 \cdots n}\right \}$

Si la somme des coefficients $\sum_{i=1}^n a_i$ est non nulle, cette fonction se simplifie en

$\vec f(M) = \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\overrightarrow{MG}$

Cette propriété permet de réduire une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs en un seul vecteur grâce à un barycentre. Elle permet aussi de donner les coordonnées du barycentre quand l'espace est de dimension finie.

En effet $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i}\vec f(O) = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{OA_i}$ .

Ce qui se traduit en termes de coordonnées par

$x_{G,k} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n a_i x_{A_i,k}$

Fonction scalaire de Leibniz

On se place dans un espace affine euclidien sur un corps $\mathbb K$ . Soient $(A_i)_{i=1 \cdots n}$ une famille de n points et $(a_i)_{i=1 \cdots n}$ une famille de n scalaires, on appelle fonction scalaire de Leibniz associée au système $\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}$ , l'application de E dans $\mathbb K$ qui, au point M associe le scalaire $f(M) = \sum_{i=1}^n a_i MA_i^2$

Si la somme des coefficients est nulle, cette fonction se simplifie en

$f(M) = f(O) + 2\overrightarrow{MO}\cdot \vec u$

où $\vec u$ est la constante égale à la fonction vectorielle de Leibniz associée au système et où O est un point arbitrairement fixé.

Si la somme des coefficients est non nulle, cette fonction se simplifie en

$f(M) = f(G) + \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) MG^2$

où G est le barycentre du système $\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}$

Cette réduction permet de résoudre plus simplement des problèmes de lieux de points (voir théorème de Leibniz)

Exemple : en dimension deux, l'ensemble des points M tels que f(M) = k est

dans le cas où la somme des coefficients est nulle
- une droite orthogonale à $\vec u$ si $\vec u$ est non nul
- tout le plan ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k) si $\vec u$ est nul
dans le cas où la somme des coefficients est non nulle
- un cercle de centre G, le point G ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k)

Voir aussi

Portail de la géométrie

Ce document provient de « Fonctions de Leibniz ».

Catégories : Géométrie affine | Géométrie euclidienne | Leibniz

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonctions de leibniz de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

Fonctions De Leibniz — En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement… … Wikipédia en Français
Fonctions de Leibniz — En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement… … Wikipédia en Français
FONCTIONS (REPRÉSENTATION ET APPROXIMATION DES) — Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d’étudier de manière efficace leurs propriétés. C’est le cas des … Encyclopédie Universelle
Leibniz — Gottfried Wilhelm Leibniz Pour les articles homonymes, voir Leibniz (homonymie). Gottfried Wilhelm Leibniz Philosophe et Scientifique Époque Moderne … Wikipédia en Français
Fonctions réelles — Application (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Application. Graphique d une fonction … Wikipédia en Français
Demonstration de la formule de Leibniz — Formule de Leibniz En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz (21 juillet 1646 14 novembre 1716) : En analyse réelle, la formule de Leibniz est la… … Wikipédia en Français
Démonstration De La Formule De Leibniz — Formule de Leibniz En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz (21 juillet 1646 14 novembre 1716) : En analyse réelle, la formule de Leibniz est la… … Wikipédia en Français
Démonstration de la formule de Leibniz — Formule de Leibniz En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz (21 juillet 1646 14 novembre 1716) : En analyse réelle, la formule de Leibniz est la… … Wikipédia en Français
Démonstration de la formule de leibniz — Formule de Leibniz En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz (21 juillet 1646 14 novembre 1716) : En analyse réelle, la formule de Leibniz est la… … Wikipédia en Français
Formule De Leibniz — En mathématiques, plusieurs identités portent le nom de formule de Leibniz, nommées d après le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz (21 juillet 1646 14 novembre 1716) : En analyse réelle, la formule de Leibniz est la formule donnant les… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Fonctions de leibniz