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Fonctions de Leibniz
En géométrie affine ou euclidienne, les fonctions vectorielles et scalaires de Leibniz sont des fonctions qui, à des points, associent des vecteurs (fonction vectorielle) ou des nombres (fonction scalaire). Ces fonctions sont très intimement liées à la notion de barycentre qui permet d'en donner une forme simplifiée.
Fonction vectorielle de Leibniz
On se place dans un espace affine E associé à un espace vectoriel V. Soient
une famille de n points et
une famille de n scalaires, on appelle fonction vectorielle de Leibniz associée au système
, l'application de E dans V qui, au point M associe le vecteur
Si la somme des coefficients
est nulle, cette fonction est constante. Si un des coefficients est non nul (par exemple a1), cette constante est égale à
où G1 est le barycentre du système
Si la somme des coefficients
est non nulle, cette fonction se simplifie en
Cette propriété permet de réduire une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs en un seul vecteur grâce à un barycentre. Elle permet aussi de donner les coordonnées du barycentre quand l'espace est de dimension finie.
En effet
.
Ce qui se traduit en termes de coordonnées par
Fonction scalaire de Leibniz
On se place dans un espace affine euclidien sur un corps
. Soient
une famille de n points et
une famille de n scalaires, on appelle fonction scalaire de Leibniz associée au système
, l'application de E dans
qui, au point M associe le scalaire
Si la somme des coefficients est nulle, cette fonction se simplifie en
où
est la constante égale à la fonction vectorielle de Leibniz associée au système et où O est un point arbitrairement fixé.
Si la somme des coefficients est non nulle, cette fonction se simplifie en
où G est le barycentre du système
Cette réduction permet de résoudre plus simplement des problèmes de lieux de points (voir théorème de Leibniz)
Exemple : en dimension deux, l'ensemble des points M tels que f(M) = k est
- dans le cas où la somme des coefficients est nulle
- une droite orthogonale à
si
est non nul
- tout le plan ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k) si
est nul
- une droite orthogonale à
- dans le cas où la somme des coefficients est non nulle
- un cercle de centre G, le point G ou l'ensemble vide (selon les valeurs de k)
Voir aussi
- Portail de la géométrie
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