Fonctions de Bessel

Fonction de Bessel

Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l'équation différentielle de Bessel :

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0$

pour tout nombre réel ou complexe n. Le cas le plus commun est quand n est un nombre naturel, et il est alors nommé l'ordre de la fonction.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

les fonctions de Bessel de première espèce J_n, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
les fonctions de Bessel de seconde espèce Y_n, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'aplanissent comme s'ils s'agissaient de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme $\sqrt{x}$ .

Elles sont importantes dans beaucoup de problèmes physiques.

Applications :

les ondes électromagnétiques dans un guide cylindrique (antenne) ;
les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ;
l'étude d'instruments optiques ;
le pendule de Bessel ;
dans les phénomènes de diffraction par une fente circulaire.

Expression des fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel de première espèce Jn sont définies par :

$J_n(x)=(x/2)^n \sum_{p=0}^\infty {(-1)^p \over 2^{2p} p! (n+p)!} x^{2p}$

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont définies par :

$Y_n(x)=\lim_{\lambda \to n} {J_\lambda(x) \cos(\lambda \pi) - J_{-\lambda}(x) \over \sin(\lambda \pi)}$

Propriétés (des $J n$ )

Relations de récurrence :

$J_{n+1}(x)={n J_n(x) \over x}-J_n'(x)$

$J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)={2n \over x} J_n(x)$

$J_{n+1}(x)-J_{n-1}(x)=-2J_n'(x)\,$

On en déduit :

$J_1(x)=-J_0'(x)\;$

$\frac{d}{dx}(x^n J_n(x))=x^n J_{n-1}(x)\;$

Orthogonalité :

$λ i$ et $λ j$ étant deux zéros distincts de $J n$ , on a : $\int_{0}^{1} x J_n(\lambda_i x) J_n(\lambda_j x)\, dx = 0$

Liens internes

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Fonction de Bessel ».

Catégories : Fonction remarquable | Fonction hypergéométrique | Fonctions spéciales

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonctions de Bessel de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

BESSEL (FONCTIONS DE) — Les fonctions de Bessel jouent un rôle important en mathématiques appliquées et en physique mathématique. Elles interviennent aussi bien dans des problèmes de conduction de la chaleur que dans des problèmes de diffraction, acoustique, ou… … Encyclopédie Universelle
FONCTIONS (REPRÉSENTATION ET APPROXIMATION DES) — Il arrive très souvent que, dans les problèmes issus des mathématiques ou des autres sciences, les fonctions qui interviennent soient définies par des procédés qui ne permettent pas d’étudier de manière efficace leurs propriétés. C’est le cas des … Encyclopédie Universelle
Fonctions Spéciales — Fonction spéciale Interférences d ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s interprète à l aide des fonctions de Bessel. L analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques… … Wikipédia en Français
Fonctions speciales — Fonction spéciale Interférences d ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s interprète à l aide des fonctions de Bessel. L analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques… … Wikipédia en Français
Fonctions spéciales — Fonction spéciale Interférences d ondes émises par deux sources cylindriques. Le phénomène s interprète à l aide des fonctions de Bessel. L analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques… … Wikipédia en Français
BESSEL (F.) — BESSEL FRIEDRICH (1784 1846) Né à Minden en Westphalie, Bessel commença à travailler très jeune comme commis. Attiré par la navigation maritime, il s’intéressa aux observations nautiques, construisant lui même son sextant et étudiant l’astronomie … Encyclopédie Universelle
Fonctions de Lamé — En physique mathématique, Gabriel Lamé étudie l équilibre des températures dans les corps homogènes de forme ellipsoïdale et découvre en 1837 une équation différentielle, dont les solutions seront appelées les fonctions de Lamé . Mais Jacobi en… … Wikipédia en Français
Fonction de Bessel — En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom du mathématicien allemand Friedrich Bessel. Bessel développa l analyse de ces fonctions en 1817… … Wikipédia en Français
Fonction De Bessel — Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l équation différentielle de Bessel : pour tout nombre réel ou complexe n. Le cas le plus… … Wikipédia en Français
Fonction de bessel — Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l équation différentielle de Bessel : pour tout nombre réel ou complexe n. Le cas le plus… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Fonctions de Bessel

Fonction de Bessel

Expression des fonctions de Bessel

Propriétés (des $J n$ )

Liens internes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Fonctions de Bessel

Fonction de Bessel

Expression des fonctions de Bessel

Propriétés (des Jn)

Liens internes

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link

Propriétés (des $J n$ )