Fonctions de Bessel

Fonction de Bessel

Les fonctions de Bessel, découvertes par le mathématicien suisse Daniel Bernoulli, portent le nom de Friedrich Bessel, et sont des solutions y de l'équation différentielle de Bessel :

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0$

pour tout nombre réel ou complexe n. Le cas le plus commun est quand n est un nombre naturel, et il est alors nommé l'ordre de la fonction.

Il existe deux sortes de fonctions de Bessel :

les fonctions de Bessel de première espèce J_n, solutions de l'équation différentielle ci-dessus qui sont définies en 0 ;
les fonctions de Bessel de seconde espèce Y_n, solutions qui ne sont pas définies en 0 (mais qui ont une limite infinie en 0).

Les représentations graphiques des fonctions de Bessel ressemblent à celles des fonctions sinus ou cosinus, mais s'aplanissent comme s'ils s'agissaient de fonctions sinus ou cosinus divisées par un terme de la forme $\sqrt{x}$ .

Elles sont importantes dans beaucoup de problèmes physiques.

Applications :

les ondes électromagnétiques dans un guide cylindrique (antenne) ;
les modes de vibration d'une fine membrane circulaire ou annulaire ;
l'étude d'instruments optiques ;
le pendule de Bessel ;
dans les phénomènes de diffraction par une fente circulaire.

Expression des fonctions de Bessel

Les fonctions de Bessel de première espèce Jn sont définies par :

$J_n(x)=(x/2)^n \sum_{p=0}^\infty {(-1)^p \over 2^{2p} p! (n+p)!} x^{2p}$

Les fonctions de Bessel de deuxième espèce ou fonctions de Neumann sont définies par :

$Y_n(x)=\lim_{\lambda \to n} {J_\lambda(x) \cos(\lambda \pi) - J_{-\lambda}(x) \over \sin(\lambda \pi)}$

Propriétés (des $J n$ )

Relations de récurrence :

$J_{n+1}(x)={n J_n(x) \over x}-J_n'(x)$

$J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)={2n \over x} J_n(x)$

$J_{n+1}(x)-J_{n-1}(x)=-2J_n'(x)\,$

On en déduit :

$J_1(x)=-J_0'(x)\;$

$\frac{d}{dx}(x^n J_n(x))=x^n J_{n-1}(x)\;$

Orthogonalité :

$λ i$ et $λ j$ étant deux zéros distincts de $J n$ , on a : $\int_{0}^{1} x J_n(\lambda_i x) J_n(\lambda_j x)\, dx = 0$

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