Fonction de langevin

Fonction de langevin

Fonction de Langevin

La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par L(x) = \coth (x) - {1 \over x} .

Sommaire

Contexte

La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme \vec{B}=B\vec{u_z} (ou des systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante).

La matériau est décrit par une assemblée de dipôles magnétiques avec un moment magnétique \vec{M}. L'énergie de chaque dipôle est alors U=-\mu \vec{M}\cdot\vec{B}.

Calcul de l'aimantation moyenne

On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas \langle M \rangle l'aimantation moyenne d'un site dans la direction \vec{u_z} est donnée par la loi de Boltzmann : \frac{\int M e^{\frac{\mu \vec{M}\cdot\vec{B}}{kT}}d\Omega}{\int e^{\frac{\mu \vec{M}\cdot\vec{B}}{kT}}d\Omega} où Ω désigne l'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour \vec{M}.

Résultat

Des manipulations élémentaires mènent alors à : \langle M \rangle =\mu\left[\coth{\left(\frac{\mu B}{kT}\right)}-\frac{kT}{\mu B}\right]= \mu L\left(\frac{\mu B}{kT}\right) où L est la fonction de Langevin.

Comportement asymptotique

Lorsque la température tend vers zéro on a \langle M \rangle \simeq \mu : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures \langle M \rangle \simeq 0, l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime "entropique" : les spins ne voient plus le champ magnétique).

Voir aussi

  • Portail de la physique Portail de la physique
  • Portail de l’électricité et de l’électronique Portail de l’électricité et de l’électronique
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