Fonction Polygamma

Fonction Polygamma

Fonction polygamma

Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m=0, en jaune m=1, en vert m=2, en rouge m=3 et en bleu m=4

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est définie comme la m+1 -ième dérivée logarithmique de la fonction gamma :

\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z)

Ici,

\psi(z) =\psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}\,

est la fonction digamma et \Gamma(z)\, est la fonction gamma. On appelle aussi parfois la fonction \psi^{(1)}\, fonction trigamma.

Sommaire

Définition par intégrale

La fonction polygamma peut être représenté par:

\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty 
\frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt

Ceci n'est valable que pour Re z > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.

Représentation dans le plan complexe

La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est:
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg
lnΓ(z) ψ(0)(z) ψ(1)(z) ψ(2)(z) ψ(3)(z) ψ(4)(z)

Relation de récurence

Elle possède la relation de récurrence

\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}\,

Théorème de multiplication

Le théorème de multiplication donne:

k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)

Valable pour m > 1, et, pour m = 0 la formule de multiplication de la fonction digamma est:

k (\psi(kz)-\ln(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} 
\psi\left(z+\frac{n}{k}\right)

Représentation par série

La fonction polygamma a pour représentation en série:

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty 
\frac{1}{(z+k)^{m+1}}

Qui n'est valable que pour m > 0 et pour tout complexe z qui n'est pas égale à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta d'Hurwitz par

\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z)\,

On peut en conclure que la fonction zêta d'Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à \mathbb C \backslash \mathbb Z^-.

Série de Taylor

La série de Taylor au point z=1 est

\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty 
(-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}\,,

qui converge pour |z|<1. Ici, \zeta(n)\, est la fonction zêta de Riemann.

Références

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Voir la section 6.4.
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