Fonction Digamma

Fonction digamma

Représentation de la fonction digamma

ψ(s)

sur la droite des réels.

En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie par

$\psi(x) =D \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$

où D est l'opérateur différentiel.

La fonction digamma, souvent notée aussi $\psi_0(x)\,$ ou même $\psi^0(x)\,$ , est reliée aux nombres harmoniques par

$\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\,$

où $H_{n-1}\,$ est le (n - 1)-ième nombre harmonique, et $\gamma\,$ est la célèbre constante d'Euler-Mascheroni.

Valeurs spéciales

La fonction digamma a pour valeurs:

$\psi(1) = -\gamma\,\!$

$\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln(2) - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln(2) - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln(2) -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln(2) - \frac{\sqrt{2}}{2} \left[\pi + \ln\left(2 + \sqrt{2}\right) - \ln\left(2 - \sqrt{2}\right)\right] - \gamma$

Voir aussi

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