Fonction beta de Dirichlet

Fonction bêta de Dirichlet

En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est un cas particulier de fonction L de Dirichlet pour le caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Elle est définie comme la fonction d'une variable complexe s, pour s de partie réelle plus grande que 1, par la série :

$\beta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^s}$ ,

ou par l'intégrale

$\beta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^x}{e^{2x} + 1}\,dx$ .

Dans ces deux cas, les deux formules ne sont valables que pour Re(s)>0.

Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta d'Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes:

$\beta(s) = 4^{-s} \left( \zeta(s,{{1} \over {4}})-\zeta(s, {{3} \over {4}}) \right)$ .

Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch:

$\beta(s) = 2^{-s} \Phi(-1,s,{{1} \over {2}})$ ,

qui est aussi valable pour tous nombres complexes.

Cette fonction se prolonge de façon méromorphe sur le plan complexe.

Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) <1.

$\beta(s)=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{s-1} \Gamma(1-s) \cos \left(\frac{\pi s}{2}\right)\,\beta(1-s)$

où Γ(s) est la fonction gamma d'Euler.

Valeurs spéciales

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

$\beta(0)\;=\;\frac{1}{2}$ ,
$\beta(1)\;=\;\frac{\pi}{4}$ ,
$\beta(2)\;=K$ , où K est la constante de Catalan.
$\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}$ .
$\beta(4)\;=\;\frac{1}{768}\left(\psi^3\left(\frac{1}{4}\right)-8\pi^4\right)$ ,
$\beta(5)\;=\;\frac{5\pi^5}{1536}$ ,
$\beta(7)\;=\;\frac{61\pi^7}{184320}$ ,

où $ψ 3 (1 / 4)$ est la fonction polygamma de troisième ordre de 1/4.

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.

$\beta(2k+1)\;=\;\frac{E_{2k}}{2(2k)!}(\frac{\pi}{2})^{2k+1}$ ,

ou les $E 2 k$ sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de la fonction bêta de Dirichlet des entiers pairs négatifs sont données aussi par les nombres d'Euler avec:

$\beta(-k)={{E_{k}} \over {2}}$ .

Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs. Le nombre $β(2)$ est appelé la constante de Catalan.

Voir aussi

Références

J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.

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Catégorie : Fonction zêta

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