Fonction polygamma

Tracé de la fonction polygamma le long de l'axe des réels avec en orange m=0, en jaune m=1, en vert m=2, en rouge m=3 et en bleu m=4

En mathématiques, la fonction polygamma d'ordre m est définie comme la m+1 -ième dérivée logarithmique de la fonction gamma :

$\psi^{(m)}(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi(z) = \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln\Gamma(z)$

Ici,

$\psi(z) =\psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}\,$

est la fonction digamma et $\Gamma(z)\,$ est la fonction gamma. On appelle aussi parfois la fonction $\psi^{(1)}\,$ fonction trigamma.

Définition par intégrale

La fonction polygamma peut être représenté par:

$\psi^{(m)}(z)= (-1)^{(m+1)}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} dt$

Ceci n'est valable que pour Re z > 0 et m > 0. Pour m = 0, voir la définition de la fonction digamma.

Représentation dans le plan complexe

**La représentation du logarithme de la fonction gamma et des premiers ordres de la fonction polygamma dans le plan complexe est:**

$ln Γ(z)$	$ψ (0) (z)$	$ψ (1) (z)$	$ψ (2) (z)$	$ψ (3) (z)$	$ψ (4) (z)$

Relation de récurrence

Elle possède la relation de récurrence

$\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + (-1)^m\; m!\; z^{-(m+1)}\,$

Théorème de multiplication

Le théorème de multiplication donne:

$k^{m} \psi^{(m-1)}(kz) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m-1)}\left(z+\frac{n}{k}\right)$

Valable pour $m > 1$ , et, pour $m = 0$ la formule de multiplication de la fonction digamma est:

$k (\psi(kz)-\ln(k)) = \sum_{n=0}^{k-1} \psi\left(z+\frac{n}{k}\right)$

Représentation par série

La fonction polygamma a pour représentation en série:

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{m+1}}$

Qui n'est valable que pour m > 0 et pour tout complexe z qui n'est pas égale à un nombre entier négatif. Cette représentation peut être écrite avec la fonction zêta de Hurwitz par

$\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z)\,$

On peut en conclure que la fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma à n'importe quel ordre appartenant à $\mathbb C \backslash \mathbb Z^-$ .

Série de Taylor

La série de Taylor au point z=1 est

$\psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!}\,$ ,

qui converge pour |z|<1. Ici, $\zeta(n)\,$ est la fonction zêta de Riemann.

Références

Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . Voir la section 6.4.

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