Fonction de répartition conditionnelle

Fonction de répartition conditionnelle

Probabilité conditionnelle

La notion de probabilité conditionnelle permet de tenir compte dans une prévision d'une information complémentaire. Par exemple, si je tire au hasard une carte d'un jeu, j'estime naturellement à une chance sur quatre la probabilité d'obtenir un cœur ; mais si j'aperçois un reflet rouge sur la table, je corrige mon estimation à une chance sur deux. Cette seconde estimation correspond à la probabilité d'obtenir un cœur sachant que la carte est rouge. Elle est conditionnée par la couleur de la carte ; donc, conditionnelle.

La pratique n'est cependant pas toujours aisée, comme le montrent certains paradoxes tels que le paradoxe des deux enfants, le paradoxe des deux enveloppes, le paradoxe des trois pièces de monnaie et le paradoxe des prisonniers. D'où la nécessité d'une définition rigoureuse.


Sommaire

Définition

En théorie des probabilités, la probabilité conditionnelle d'un événement A, sachant qu'un autre événement B de probabilité non nulle s'est réalisé (ou probabilité de A, sachant B) est le nombre noté \mathbb{P}(A|B) défini par :

\mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}

Le réel \mathbb{P}(A|B) se lit « probabilité de A, sachant B ». \mathbb{P}(A|B) se note aussi parfois \mathbb{P}_B(A).

Mathématiquement, soient \left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right), un espace probabilisé et B un événement de la tribu \mathcal B de probabilité non nulle (non quasi-impossible). À tout événement A de \mathcal B, nous associons le nombre noté \mathbb{P}(A|B) ou \mathbb{P}_B(A) défini par:

\mathbb{P}_B(A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}.

Nous pourrions vérifier que l'application \mathbb{P}_B définie par A\mapsto \mathbb{P}_B(A) est une probabilité.

Si A et B sont indépendants alors:

\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)

Espérance conditionnelle

Article détaillé : Espérance conditionnelle.

Soit \left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right) un espace probabilisé, X une variable aléatoire réelle intégrable et B un évènement. On appelle espérance conditionnelle:


\mathbb{E}(X|B)=\frac{1}{\mathbb{P}(B)}\int_B X d\mathbb{P}

\mathbb{E}(X|B) est l'espérance de X sachant que B s'est réalisé.

Densité conditionnelle

Soit \left(\Omega, \mathcal B, \mathbb{P}\right), Soit X et Y deux variables aléatoires de loi jointe f(x,y). Soit y0 tel que \int f(x,y_0) dx \neq 0. On appelle densité conditionnelle la loi:

g(x|y_0)= \frac{ f(x,y_0) }{\int f(x,y_0) dx }

Articles connexes

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « Probabilit%C3%A9 conditionnelle ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction de répartition conditionnelle de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Théorie des probabilités — Pour les articles homonymes, voir Interconnexions entre la théorie des probabilités et les statistiques. Courbes de probabilité. La théorie des probabilités est l étude mathématique des phén …   Wikipédia en Français

  • Loi uniforme continue — Uniforme Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

  • Theorie des probabilites — Théorie des probabilités Courbes de probabilité. La Théorie des probabilités est l étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l incertitude. Les objets centraux de la théorie des probabilités sont les variables aléatoires,… …   Wikipédia en Français

  • Mouvement brownien — d une particule. Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, est une description mathématique du mouvement aléatoire d une « grosse » particule immergée dans un fluide et qui n est soumise à aucune autre interaction que des chocs… …   Wikipédia en Français

  • STOCHASTIQUES (PROCESSUS) — Le calcul des probabilités classique [cf. PROBABILITÉS (CALCUL DES)] s’applique à des épreuves où chaque résultat possible (ou éventualité) est un nombre . Or il existe beaucoup de situations réelles relevant de modèles aléatoires, mais d’une… …   Encyclopédie Universelle

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Loi tronquée (probabilités) — En probabilité et en statistiques, une loi tronquée est une loi conditionnelle, dérivée d une autre loi de probabilité. Plus clairement, pour une variable aléatoire X de support réel, dont la fonction de répartition est F, la loi tronquée à l… …   Wikipédia en Français

  • Processus de Markov — En mathématiques, un processus de Markov est un processus stochastique possédant la propriété de Markov. Dans un tel processus, la prédiction du futur à partir du présent n est pas rendue plus précise par des éléments d information concernant le… …   Wikipédia en Français

  • Statistique descriptive — Pour les articles homonymes, voir Interconnexions entre la théorie des probabilités et les statistiques. La statistique descriptive est la branche des statistiques qui regroupe les nombreuses techniques utilisées pour décrire un ensemble… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”