Espaces de banach

Espaces de banach

Espace de Banach

Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle.

Sommaire

Exemples

Par la suite \mathbb{K} peut être remplacé par \mathbb{R} ou  \mathbb{C} .

  • Les espaces euclidiens \mathbb{K}^n munis de la norme  ||x|| = (\sum_i(x_i)^2)^{1/2}\,x = (x1,...,xn) sont des espaces de Banach.
  • L'espace des fonctions continues définies sur un intervalle : f:[a,b] \rightarrow \mathbb{K} muni de la norme  ||f|| = \sup_{x \in [a,b]}(|f(x)|) forme un espace de Banach.

Propriété des fermés emboîtés

Article détaillé : Théorème des fermés emboités.

Soit une suite décroissante de fermés non vides d'un espace de Banach telle que le diamètre de chaque fermé soit réel et que la suite des diamètres tende vers 0. Alors l'intersection des fermés est réduite à un singleton.

Cette propriété permet de démontrer qu'un espace de Banach est de Baire.

Cette propriété peut être fausse sans l'hypothèse que les diamètres tendent vers 0, même si on suppose les fermés bornés.

Théorème de Banach-Steinhaus

Voir l'article de fond : Théorème de Banach-Steinhaus.

Soient E un espace de Banach, et F un espace vectoriel normé. Soit  (u_i)_{i\in I} une famille d'éléments de   \mathcal L(E,F)  (voir application linéaire) et soit A l'ensemble des vecteurs  x\in E tels que  \sup_{i\in I} \|u_i(x)\| < + \infty . Alors soit A est maigre, c'est-à-dire réunion dénombrable d'ensembles rares (un ensemble est rare si l'intérieur de son adhérence est vide) et son complémentaire est dense, soit  \sup_{i\in I} \| u_i \| < + \infty  . En particulier, si A = E, seule la seconde éventualité est possible.

Remarque : la dernière norme utilisée est la norme d'opérateur (ou norme subordonnée).

Littérature

Liens internes

Structures topologiques :

Théorèmes d'analyse :

Biographie :

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Espace de Banach ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espaces de banach de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Espaces de Banach — Espace de Banach Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique.… …   Wikipédia en Français

  • BANACH (S.) — Avec l’introduction des espaces qui portent son nom et l’étude fine des applications linéaires dans ces espaces, Banach est un des fondateurs de l’analyse fonctionnelle. Son œuvre illustre bien la force des théories mathématiques modernes: se… …   Encyclopédie Universelle

  • Banach — Stefan Banach Buste de Stefan Banach à Cracovie Stefan Banach (1892 1945) est un mathématicien polonais. Il a donné son nom aux espaces de Banach. Sommaire …   Wikipédia en Français

  • Espaces vectoriels — Espace vectoriel En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d effectuer des combinaisons linéaires. Étant donné un corps (commutatif) K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont… …   Wikipédia en Français

  • NORMÉS (ESPACES VECTORIELS) — L’analyse fonctionnelle linéaire, en tant que théorie générale, s’est créée au début du XXe siècle, autour des problèmes posés par les équations intégrales. Entre 1904 et 1906, D. Hilbert (1862 1943) est amené à étudier des développements en… …   Encyclopédie Universelle

  • TOPOLOGIQUES (ESPACES VECTORIELS) — La théorie des espaces normés, développée par S. Banach et ses élèves, s’est vite révélée insuffisante pour les besoins de l’analyse fonctionnelle où interviennent de nombreux espaces vectoriels munis d’une topologie qui n’est pas déduite d’une… …   Encyclopédie Universelle

  • Théorème de Banach-Schauder —  Ne pas confondre ce théorème de l application ouverte avec théorème de l application ouverte (analyse complexe). En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de Banach-Schauder — Théorème de Banach Schauder En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de banach-schauder — En analyse fonctionnelle, le théorème de Banach Schauder, également appelé théorème de l application ouverte est un résultat fondamental qui affirme qu une application linéaire continue surjective entre deux espaces vectoriels normés complets est …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Banach-Mazur — Le théorème de Banach Mazur est un outil d analyse fonctionnelle. De manière très approximative, il exprime que les espaces vectoriels normés vérifiant des conditions raisonnables du point de vue de l analyse sont des sous espaces fermés de l… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”