Espace réflexif

Espace réflexif
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En analyse fonctionnelle, un espace de Banach est dit réflexif s'il est isomorphe à son bidual topologique. Les espaces réflexifs possèdent d'intéressantes propriétés géométriques.

Sommaire

Définition

Soit X un espace vectoriel normé complet, sur R ou C. On note X' son dual topologique, c'est-à-dire toutes les formes linéaires continues de X dans le corps de base. Il s'agit aussi d'un espace de Banach. On peut alors former le bidual topologique X'', qui est le dual topologique de X'. Il y a une application linéaire continue naturelle

J : X → X''

définie par

J(x)(φ) = φ(x) pour tout x dans X et φ dans X'.

Donc, J envoie x vers la forme linéaire continue sur X' donnée par l'évaluation en x. Comme conséquence du théorème de Hahn-Banach, J préserve la norme (soit encore ||J(x)||=||x||) et est donc injective. L'espace X est alors dit réflexif si J est bijective.

Note : cette définition implique que tout espace réflexif est un espace de Banach, puisque X est isomorphe à X''.

Exemples

Tout espace de Hilbert est réflexif, de même que les espaces Lp pour 1 < p < ∞. De manière générale : tout espace de Banach uniformément convexe est réflexif d'après le théorème de Milman (en)-Pettis (en).

Les espaces de Montel (en) sont aussi réflexifs.

Les espace de suites ℓ1 et ℓ∞ ne sont pas réflexifs. L'espace C([0, 1]) non plus.

Propriétés

Tout sous-espace vectoriel fermé d'un espace réflexif est réflexif.

La propriété géométrique annoncée de ces espaces est la suivante : pour tout convexe fermé C d'un espace réflexif X et tout x dans X, il existe dans C au moins un c (non unique en général) tel que ||x - c|| soit égal à la distance de x à C.

Pour un espace de Banach X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. X est réflexif,
  2. le dual de X est réflexif,
  3. la boule unité fermée de X est faiblement compacte[1],
  4. toute suite bornée de X admet une sous-suite faiblement convergente[2],
  5. toute forme linéaire continue sur X atteint sa norme en un point de la boule unité de X[3].

Un espace réflexif peut être muni d'une norme équivalente qui en fait un espace strictement convexe[4].

Un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual est séparable[5].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Reflexive space » (voir la liste des auteurs)

  1. ↑ (en) John B. Conway (en), A Course in Functional Analysis, Springer, 1985, th. V.4.2, p. 135
  2. ↑ En effet, dans un espace de Banach muni de la topologie faible, toute partie séquentiellement compacte est compacte d'après le théorème d'Eberlein–Šmulian (en).
  3. ↑ Voir théorème de James (de).
  4. ↑ (en) J. Lindenstrauss (de), « On nonseparable reflexive Banach spaces », dans Bull. Amer. Math. Soc. (en), vol. 72, 1966, p. 967-970 
  5. ↑ Ceci résulte du fait qu'un espace vectoriel normé est séparable dès que son dual l'est.

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace réflexif de Wikipédia en français (auteurs)

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