Norme equivalente

Norme equivalente

Norme équivalente

En mathématiques et plus précisément en topologie, il existe une relation d'équivalence entre les différentes normes définies sur un espace vectoriel. Cette relation d'équivalence est une condition suffisante pour que les topologies induites par les normes soient identiques. L'analogie entre les deux espaces métriques ne s'arrête pas là. Si deux normes sont équivalentes alors l'uniforme continuité ou la convergence d'une suite de Cauchy pour une norme implique cette propriété pour l'autre.

Sommaire

Définition

Soit E un espace vectoriel, N1 et N2 deux normes sur E.

Définition —  Les normes N1 et N2 sont dites équivalentes si et seulement s'il existe deux nombres réels c et C strictement positifs tels que les deux majorations suivantes soient vérifiées.

\forall x \in E \quad c N_1(x) \leq N_2(x) \leq C N_1(x)

Propriétés

La première propriété est immédiate :

Proposition 1 —  La relation est équivalent à, définie sur les normes d'un espace vectoriel donnée est une relation d'équivalence.

En effet, la réflexivité est immédiate, il suffit de choisir la valeur un pour c et C. La symétrie est obtenue avec les valeurs C-1 et c-1. Enfin si :

\forall x \in E \quad c_1 N_1(x) \leq N_2(x) \leq C_1 N_1(x)\quad et \quad c_2 N_2(x) \leq N_3(x) \leq C_2 N_2(x)

La transitivité est obtenue avec les deux coefficients c1.c2 et C1.C2.

Proposition 2 —  Deux normes N1 et N2 équivalentes induisent la même topologie sur E.

La topologie sur un espace vectoriel E induite par une norme N est l'ensemble des ouverts de E. Un ensemble O est dit ouvert si et seulement si pour tout x élément de O, il existe une boule ouverte de centre x et non vide contenue dans O.

Démontrons la proposition 2 : Soit O un ouvert pour la norme N1 et x un élément de O. Il existe un réel strictement positif d tel que la boule ouverte de centre x et de rayon d pour la norme N1 est incluse dans O. Une telle boule contient la boule ouverte de centre x et de rayon cd pour la norme N2. Ceci montre que O est un ouvert pour la norme induite par N2. Un raisonnement analogue sur la deuxième inégalité montre que tout ouvert induit par la norme N2 est un ouvert pour la première norme.

Proposition 3 —  Si E est complet pour une norme N1 et si la norme N2 est équivalente à N1 , alors E est complet pour la norme N2.

Certaines notions, comme la complétude ne s'exprime pas en termes de topologie. La notion de distance est indispensable. L'équivalence des normes implique néanmoins l'équivalence de ces concepts.

Démontrons la proposition 3 : Il suffit pour cela de montrer que, si une suite (un ) est de Cauchy pour N2, alors elle est de Cauchy pour N1. La complétude de E pour la norme N1 implique la convergence. De plus, toute suite convergente pour N1 l’est pour N2 car les deux topologies induites sont les mêmes.

La suite est de Cauchy pour N1, donc :

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists M > 0 \quad / \quad \forall n,m > M \quad N_1 ( u_n - u_m ) \, < \, \frac {\varepsilon}{c}

L’équivalence des normes montrent que :

\forall \varepsilon > 0 \quad \exists M > 0 \quad / \quad \forall n,m > M \quad N_2(u_n - u_m) \, < \, \varepsilon

Ce qui termine la démonstration.

Proposition 4 —  Si une fonction f de E à valeur dans un espace métrique est uniformément continue pour une norme N1 et si la norme N2 est équivalente à N1 , alors f est uniformément continue pour la norme N2.

Cette proposition se démontre exactement comme la précédente.

Proposition 5 —  Si une norme N2 est équivalente à une norme N1, alors N2 est une application lipschitzienne et donc uniformément continue de E dans R pour la norme N1.

En effet, il suffit de remarquer que, en gardant les mêmes notations :

\forall x,y \in E \quad |N_2(x) - N_2(y)| \, \le \, N_2(x-y) \, \le \, CN_1(x-y)

Exemple

Article détaillé : Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie.

Toutes les normes d'un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes. Il n'existe donc qu'un seul espace vectoriel normé de dimension finie à un isomorphisme près : l'espace euclidien. Comme un espace vectoriel complexe normé de dimension finie n est aussi un espace vectoriel réel normé de dimension finie 2n, la norme est toujours unique, à une équivalence près. Les démonstrations sont données dans l'article détaillé.

Référence

  • Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions]
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
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