Espace uniformément convexe

Espace uniformément convexe: En mathématiques, un espace uniformément convexe est un cas particulier d'espace de Banach réflexif. Ces espaces comprennent les espaces de Hilbert et les espaces L^p pour $1<p<\infty$ .

Sommaire

1 Définition

2 Propriétés

3 Annexes

3.1 Note

3.2 Articles connexes

3.3 Bibliographie

Définition

Un espace uniformément convexe est un espace de Banach tel que, pour tout $ε > 0$ , il existe un $δ > 0$ pour lequel, pour tout couple de vecteurs avec $\|x\|\leqslant 1$ et $\|y\|\leqslant 1,$ $\|x-y\|>\epsilon$ impliquent $\frac 12 \|x+y\|< 1-\delta$ ^[1].

Le concept de convexité uniforme a été introduit par James A. Clarkson (1936).

De manière intuitive, cela signifie que les boules sont bien arrondies : les segments suffisamment longs inclus dans une boule ont leur milieu relativement loin du bord de la boule, le tout avec un caractère uniforme par rapport aux choix des points (on pourra comparer cette notion avec celle d'espace strictement convexe, moins exigeante).

Il convient de noter que cette propriété peut ne pas être conservée si on passe à une norme équivalente. Ainsi dans le cas du plan ${\mathbb R}^2$ , la norme $\|\cdot\|_2$ est uniformément convexe, alors que les normes $\|\cdot\|_1$ ou $\|\cdot\|_\infty$ ne le sont pas.

Propriétés

Le Théorème de Milman–Pettis énonce que tout espace uniformément convexe est réflexif.

Preuve (inspirée de Brézis): comme $J (B E)$ est fortement fermé dans $B E''$ , il suffit de montrer que $J (B E)$ est dense dans $B E''$ pour la topologie forte.

Il faut donc montrer que, pour $y \in E''$ , $\|y\|=1$ , et pour $ε > 0$ arbitraire, il existe $x \in B_E$ tel que $\|y-J(x)\|\le \epsilon$ .

Comme $J (B E)$ est dense dans $J (B E'')$ pour la topologie faible * (Lemme de Goldstine), on peut trouver, pour tout voisinage $V$ de $y$ dans cette topologie, un $x \in B_E$ tel que $J(x) \in V$ (ceci est vrai pour n'importe quel espace de Banach E). Sans condition supplémentaire, on ne peut rien dire de la distance de J(x) à y. Pourtant, comme nous allons le voir, si E est uniformément convexe, on peut définir pour n'importe quel $ε > 0$ un tel voisinage V de y tel que $\|y-J(x)\|\le \epsilon$ .

Soit le $ε > 0$ choisi et le $δ > 0$ qui lui correspond dans la définition de la convexité uniforme.

Il existe par définition $f\in E'$ avec $\|f\| \le 1$ et $| \langle y, f \rangle | > 1-\delta / 2$ . On pose $V=\{z \in E'' t.q. |\langle z-y, f \rangle| < \delta /2 \}$ , de sorte que V est un voisinage de y dans la topologie faible *. Il existe alors $x \in B_E$ t.q. $J(x) \in V$ . On va maintenant montrer que $\|y-J(x)\|\le \epsilon$ . En effet, supposons par l'absurde que cela soit faux, et donc que $y \in W = E'' \setminus (J(x)+ \epsilon B_E'')$ . W est aussi un voisinage de y dans la topologie faible * (en tant que complémentaire d'un fermé), et $V \cap W$ également. Il existe donc $x' \in B_E$ tel que $J(x') \in W \cap V$ , ce qui implique que $\|J(x)-J(x')\|=\|x-x'\|>\epsilon$ . Comme x et x' appartiennent à V, on a également:

$| \langle f, x \rangle - \langle y, f \rangle | < \delta / 2$ et

$| \langle f, x' \rangle - \langle y, f \rangle | < \delta / 2$ .

En additionnant ces deux relations, on obtient:

$2- \delta < 2 \cdot \langle y, f \rangle < | \langle f, x + x'\rangle | + \delta < \|x+x'\| + \delta$

et donc

$\|(x+x')/2 \|> 1- \delta$ .

Or, ceci implique (par la convexité uniforme) que $\|x-x'\| \le \epsilon$ , d'où contradiction. On en déduit que $\|y-J(x)\|\le \epsilon$ ∎

Ce théorème a été prouvé indépendamment par D. Milman en 1938 et B. J. Pettis en 1939. S. Kakutani en donna une preuve différente en 1939, et J. R. Ringrose a publié ce qui est sûrement la preuve la plus courte en 1959.

Annexes

Note

↑ Cette définition provient de Haïm Brezis, Analyse fonctionnelle : théorie et applications [détail des éditions] p 51

Articles connexes

Espace réflexif

Espace strictement convexe

Bibliographie

(en) J. A. Clarkson, Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 396–414.

(en) O. Hanner, On the uniform convexity of $L p$ and $l p$ , Ark. Mat. 3 (1956), 239–244.

(en) S. Kakutani, Weak topologies and regularity of Banach spaces, Proc. Imp. Acad. Tokyo 15 (1939), 169–173.

(en) D. Milman, On some criteria for the regularity of spaces of type (B), C. R. (Doklady) Acad. Sci. U.R.S.S, 20 (1938), 243–246.

(en) B. J. Pettis, A proof that every uniformly convex space is reflexive, Duke Math. J. 5 (1939), 249–253.

(en) J. R. Ringrose, A note on uniformly convex spaces, J. London Math. Soc. 34 (1959), 92.

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