Espace de cantor
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Espace de Cantor
On appelle espace de Cantor l'espace produit 
. C'est un espace compact métrisable à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes), totalement discontinu (on dit aussi de dimension 0), qui a la propriété universelle suivante :
- Tout espace métrisable à base dénombrable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace de K.
Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable totalement discontinus. On en déduit que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
L'espace de Cantor est homéomorphe à l'ensemble de Cantor, mais il est équipé naturellement d'une distance ultramétrique analogue à celle sur NN dont on trouvera une description dans l'article « boule ». C'est aussi, en probabilité, l'espace canonique sur lequel on construit le jeu de pile ou face.
L'espace de Cantor K a la puissance du continu, et on démontre par exemple que les boréliens d'un espace métrisable compact ont la puissance du continu dès qu'ils sont non-dénombrables en prouvant qu'ils contiennent un sous-espace homéomorphe à K.
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Catégories : Espace topologique remarquable | Georg Cantor
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2010.
Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace de cantor de Wikipédia en français (auteurs)
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