Espace Hémimétrique

Espace hémimétrique

En mathématiques, un espace hémimétrique est un cas particulier d'espace pramétrique, à qui l'on impose de vérifier l'inégalité triangulaire.

Sommaire

1 Définition
2 Cas particuliers
3 Propriétés topologiques
4 Références

Définition

Un espace hémimétrique (M, d) est la donnée d'un ensemble M et d'une fonction $d\colon X\times X\to \mathbb{R}$ appelée fonction hémimétrique (ou hémimétrique), qui vérifie :

$\forall x,y \in M, \quad \mathrm d(x,y)\geq 0$ (positivité) ;
$\forall x,y,z \in M, \quad\mathrm d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ (inégalité triangulaire) ;
$\forall x \in M, \mathrm d(x,x)=0$ .

Cas particuliers

En imposant à la fonction d d'être symétrique, on en fait une fonction pseudométrique, qui engendre un espace pseudométrique.
Une hémimétrique qui distingue deux points est appelée quasimétrique, et engendre un espace quasimétrique.
Une hémimétrique qui vérifie à la fois ces deux propriétés est une métrique, qui engendre un espace métrique.

Propriétés topologiques

Une hémimétrique induit une topologie sur M, une base des ouverts de M étant donnée par l'ensemble :

$\{B_r\left(x\right): x\in M, r>0\},$

avec $B_r\left(x\right)=\{y\in M : \mathrm d(x,y)<r\}$ la boule ouverte de rayon r centrée en x.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hemimetric space ».

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Catégories : Topologie | Espace métrique

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