Ellipsoïde des indices

Ellipsoïde des indices: Biréfringence

Le texte apparait en double après avoir traversé le cristal de calcite. C'est la double réfraction, un phénomène caractéristique des milieux biréfringents

La biréfringence est la propriété physique d'un matériau dans lequel la lumière se propage de façon anisotrope. Dans un milieu biréfringent, l'indice de réfraction n'est pas unique, il dépend des directions de propagation et de polarisation du rayon lumineux.

Un effet spectaculaire de la biréfringence est la double réfraction par laquelle un rayon lumineux pénétrant dans le cristal est divisé en deux. C'est pourquoi, sur la photographie ci-contre, l'inscription apparaît en double après avoir traversé le cristal de calcite. Ce phénomène est caractéristique des milieux biréfringents, à tel point que les termes « double réfraction » et « biréfringence » sont parfois confondus. Le second tire d'ailleurs son étymologie du premier.

Lorsqu'on parle de biréfringence, on sous-entend en général biréfringence linéaire, c'est-à-dire qu'on considère les indices de réfraction pour des ondes polarisées rectilignement. Par analogie, on utilise parfois l'expression biréfringence circulaire pour désigner l'activité optique. En effet, ces deux phénomènes peuvent se décrire de manière très similaire, mais ils ont des origines microscopiques différentes.

Dans le cas particulier des matériaux biréfringents uniaxes, on appelle également biréfringence la valeur de la différence entre les indices de réfraction extraordinaire et ordinaire du matériau (voir la définition de ces termes). La biréfringence peut ainsi être positive ou négative.

Sommaire

1 Historique

2 Description des milieux biréfringents

2.1 Les milieux uniaxes

2.2 Les milieux biaxes

3 Description mathématique, ellipsoïde des indices

3.1 Principe

3.2 Interprétation physique

4 Techniques et outils de mesure de la biréfringence

4.1 Entre deux polariseurs croisés

4.2 À l'aide d'un compensateur

5 Biréfringence induite

5.1 Par un champ électrique

5.2 Par un champ magnétique

5.3 Par une contrainte mécanique

6 Applications

6.1 Fabrication d'instruments d'optique

6.2 Microscopie en lumière polarisée

6.3 Photoélasticimétrie

7 Notes et références

8 Voir aussi

9 Sites web

Historique

On attribue généralement au danois Rasmus Bartholin la découverte de la biréfringence du spath d'Islande. Ce minéral possède une biréfringence très forte qui permet des observations à l’œil nu, observations que Bartholin décrit dans son ouvrage « Experimenta crystalli Islandici » en 1670. En 1690, le physicien hollandais Christiaan Huygens suppose que pour l'une des images observées à travers le cristal, les rayons suivent un trajet ordinaire. Mais, pour la seconde image, le trajet des rayons n'obéit pas aux lois normales de la réfraction et il propose d'utiliser des ellipsoïdes comme surfaces d'ondes. Il découvre également que la double réfraction disparaît, lorsque les rayons réfractés dans le plan de section principale sont parallèles à la direction de l'axe optique du cristal.

Description des milieux biréfringents

On considère la propagation d'un rayon lumineux polarisé rectilignement dans un milieu biréfringent. De manière générale, la vitesse de cette onde, ou en d'autres termes l'indice de réfraction, dépend de la direction de polarisation du rayon. C'est le propre d'un milieu biréfringent.

Il existe cependant au moins une direction privilégiée pour laquelle l'indice est indépendant de la direction de polarisation. Une telle direction est appelée axe optique du milieu. Dans les milieux naturels, il existe alors deux possibilités correspondant à deux types de milieux :

les milieux uniaxes qui possèdent un unique axe optique

les milieux biaxes qui en possèdent deux.

Certains métamatériaux peuvent présenter plus de deux axes optiques. Il n'en sera pas question ici.

Les milieux uniaxes

Les milieux uniaxes ont deux indices de réfraction principaux : on les appelle indices ordinaire et extraordinaire. Ils sont en général notés respectivement $n o$ et $n e$ . La différence $Δ n = n e - n o$ est alors appelée biréfringence (ou biréfringence absolue) du milieu. Pour la plupart des milieux, elle vaut en valeur absolue quelques pourcents.

On distingue deux cas selon le signe de la biréfringence :

$Δ n > 0$ : le milieu est dit uniaxe positif. L'ellipsoïde des indices a une forme allongée (en forme de cigare).

$Δ n < 0$ : le milieu est dit uniaxe négatif. L'ellipsoïde des indices a une forme aplatie (en forme de disque).

De très nombreux cristaux naturels sont uniaxes, comme le quartz ou la calcite.

Les cristaux uniaxes appartiennent aux systèmes cristallins trigonal, tétragonal ou hexagonal.

Liste d'indices de réfractions de cristaux uniaxes

Quelques indices de matériaux biréfringents
à λ ~ 590 nm (source).
Matériau n_o n_e Δn

béryl 1.602 1.557 -0.045

calcite CaCO₃ 1.658 1.486 -0.172

calomel Hg₂Cl₂ 1.973 2.656 +0.683

glace H₂O 1.309 1.313 +0.014

niobiate de lithium LiNbO₃ 2.272 2.187 -0.085

fluorure de magnésium MgF₂ 1.380 1.385 +0.006

quartz SiO₂ 1.544 1.553 +0.009

rubis Al₂O₃ 1.770 1.762 -0.008

rutile TiO₂ 2.616 2.903 +0.287

péridot 1.690 1.654 -0.036

saphir Al₂O₃ 1.768 1.760 -0.008

nitrate de sodium NaNO₃ 1.587 1.336 -0.251

tourmaline 1.669 1.638 -0.031

zircon (max) ZrSiO₄ 1.960 2.015 +0.055

zircon (min) ZrSiO₄ 1.920 1.967 +0.047

Les milieux biaxes

Les milieux biaxes ont trois indices de réfraction principaux notés en général $n 1$ , $n 2$ et $n 3$ .

Les cristaux biaxes appartiennent aux systèmes cristallins triclinique, monoclinique ou orthorhombique.

Description mathématique, ellipsoïde des indices

L'indice de réfraction d'un milieu est lié à sa permittivité qu'on décrit mathématiquement par un tenseur d'ordre 2. Ce tenseur peut être représenté graphiquement par un ellipsoïde^[1] dont les longueurs des demi-axes sont les indices de réfraction principaux. C'est ce qu'on appelle l'ellipsoïde des indices. Cette construction graphique permet de visualiser la relation entre le champ électrique $E$ et le déplacement électrique $D$ ainsi que les directions des axes optiques.

Principe

Soit un milieu optiquement anisotrope. L'indice optique $n$ correspondant à la direction du vecteur unitaire d'excitation électrique $\vec{d} = \begin{pmatrix} p \\ q \\ r \end{pmatrix}$ vérifie l'équation $\frac{p^2}{n_x^2} + \frac{q^2}{n_y^2} + \frac{r^2}{n_z^2} = \frac{1}{n^2}$ .

En notant $x = n . p$ , $y = n . q$ , $z = n . r$ , on obtient l'équation de l'ellipsoïde des indices :

$\frac{x^2}{n_x^2} + \frac{y^2}{n_y^2} + \frac{z^2}{n_z^2} = 1$

où $x, y, z$ sont bien les coordonnées des points appartenant à un ellipsoïde. Les indices $n x$ , $n y$ et $n z$ sont donnés par les composantes $\varepsilon_x$ , $\varepsilon_y$ et $\varepsilon_z$ du tenseur de permittivité électrique du milieu dans ses axes propres, dans l'approximation d'un milieu non magnétique : $n_i^2 = \varepsilon_{r_i}$ (avec $μ r = 1$ et $\varepsilon_i = \varepsilon_0 \varepsilon_{r_i}$ )

Démonstration

Il s'agit de travailler en cartésiennes pour exprimer les équations de Maxwell en fonction du vecteur $\vec{k}$ . Une fois démontré que $k^2 \vec{E} - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E} = (\vec{k}.\vec{E})\vec{k}$ , on projette cette équation sur $\vec{D}$ en utilisant $\vec{k}.\vec{D} = div(\vec{D}) = 0$ . Les relations entre la vitesse de la lumière, l'indice optique et les permittivités électriques relatives et absolues permettent de conclure.

On effectue les approximations suivantes pour exprimer les équations de maxwell :

pas de charge extrinsèque : $ρ e x = 0$ donc $div \vec{D} = 0$ ( $\vec{D}$ étant le vecteur excitation électrique)

pas de courant extrinsèque : $\vec{J_{ex}} = \vec{0}$ donc $\vec{rot}(\vec{B}) = - \mu \frac{\partial \vec{D}}{ \partial t}$ ( $\vec{B}$ étant le vecteur champ électrique)

milieu homogène et linéaire : $\vec{D} = \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E}$

Il s'agit tout d'abord de calculer, en coordonnées cartésiennes, la quantité $\vec{rot}(\vec{rot}(\vec{E}))$ pour une onde plane progressive monochromatique de deux façons différentes. Cette quantité s'écrit $\vec{k} \wedge (\vec{k} \wedge \vec{E})$ .
En utilisant les équations de Maxwell, on peut l'écrire $\vec{k} \wedge (\omega \vec{B}) = \omega \vec{rot} \vec{B} = - \omega^2 \mu \vec{D} = - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E}$ .
En utilisant les propriétés vectorielles du produit mixte, on peut l'écrire $(\vec{k}.\vec{E})\vec{k} - (\vec{k}.\vec{k})\vec{E}$ .
D'où l'équation de départ du raisonnement : $k^2 \vec{E} - \omega^2 \mu \underline{\underline{\varepsilon}} \vec{E} = (\vec{k}.\vec{E})\vec{k}$

Plaçons-nous dans le référentiel propre du tenseur $\underline{\underline{\varepsilon}}$ . Il s'assimile alors à une matrice diagonale 3*3. En indiçant par i les coordonnées cartésiennes (x,y,z) du repère, on obtient pour chaque coordonnée l'équation $(k^2 - \omega^2 \mu \varepsilon_i)E_i = (\vec{k}.\vec{E})k_i$ .
On divise ensuite l'équation par $\vec{k}.\vec{E}$ et on la multiplie par $D i$ , sachant que $E_i = \frac{D_i}{\varepsilon_i}$ . En sommant les 3 relations obtenues (une pour chaque coordonnée), on a

$\sum_{i=1}^{3} (k^2 - \omega^2 \mu \varepsilon_i)\frac{D_i^2}{\varepsilon_i (\vec{k}.\vec{E})} = \sum_{i=1}^{3} k_i D_i$

Le membre de droite correspond au produit scalaire $\vec{k}.\vec{D}$ , c'est-à-dire $div(\vec{D}) = 0$ . Puisque le membre de gauche est nul, on peut éliminer le facteur $\vec{k}.\vec{E}$ et remplacer $\varepsilon_i$ par $n_i^2$ qui lui est proportionnel. De même, en faisant apparaître la vitesse de la lumière dans le vide $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$ et sachant que $\mu \varepsilon_i = \mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_{r_i}$ (avec $μ r = 1$ vu que le matériau est considéré non magnétique aux longueurs d'onde considérées), on obtient après avoir tout divisé par $n 2$ :

$\sum_{i=1}^3 \left( \frac{n^2 - n_i^2}{n^2 n_i^2} \right)D_i^2 = 0$

On peut encore écrire cette égalité $\sum_{i=1}^3 \frac{D_i^2}{n_i^2} = \frac{\sum D_i^2}{n^2} = \frac{D^2}{n^2}$ . Introduisant maintenant le vecteur unitaire $\vec{d} = \frac{\vec{D}}{\|D\|}$ de coordonnées (p,q,r). En divisant l'égalité précédente par $D 2$ , on obtient $\frac{p^2}{n_x^2} + \frac{q^2}{n_y^2} + \frac{r^2}{n_z^2} = \frac{1}{n^2}$ .

En notant $x = n . p$ , $y = n . q$ , $z = n . r$ , on obtient l'équation de l'ellipsoïde des indices :

$\frac{x^2}{n_x^2} + \frac{y^2}{n_y^2} + \frac{z^2}{n_z^2} = 1$

Interprétation physique

Considérons une onde plane électromagnétique. L'analyse vectorielle (en cartésiennes) des équations de Maxwell permet de conclure que les vecteurs suivants sont coplanaires :

$\vec{D}$ (excitation électrique) et donc le vecteur $\vec{d} = n \frac{\vec{D}}{\|D\|}$ dont les coordonnées interviennent dans l'équation de l'ellipsoïde

$\vec{E}$ (champ électrique)

$\vec{k}$ (vecteur d'onde colinéaire à la direction de propagation de l'onde)

$\vec{P}$ (vecteur de Poynting colinéaire à la direction de propagation de l'énergie)

Le plan auquel appartiennent ces vecteurs est le plan de polarisation de l'onde. C'est le vecteur $\vec{D}$ qui est perpendiculaire à $\vec{k}$ dans les milieux matériels, et non $\vec{E}$ comme c'est habituellement le cas dans le vide.

De plus, on montre que le vecteur $\vec{E}$ est normal à l'ellipsoïde au point d'intersection avec $\vec{d}$ .

Démonstration

Le vecteur normal à l'ellipsoïde en un de ses points de coordonnées $(x, y, z)$ est $\vec{grad}(f)$ où l'équation de l'ellipsoïde est $f (x, y, z) = 0$ . Le vecteur gradient au point considéré est $\vec{grad}(f) = \left( \frac{2x}{n_x^2} , \frac{2y}{n_y^2} , \frac{2z}{n_z^2} \right)$ où $(x, y, z)$ sont les coordonnées du vecteur $\vec{d}$ . Chacune de ses composantes $d i$ ( $i \in {x,y,z}$ ) est reliée à $\vec{D}$ par $d_i = n \frac{D_i}{\| \vec{D} \|}$ et les composantes de $\vec{D}$ sont reliées à celles de $\vec{E}$ par $D_i = \varepsilon_i E_i$ où $\varepsilon_i = \varepsilon_0 n_i^2$ .
Le vecteur $\left( \frac{2n \varepsilon_0 \varepsilon_x E_x}{\| \vec{D} \| \varepsilon_x}, \frac{2n \varepsilon_0 \varepsilon_y E_y}{\| \vec{D} \| \varepsilon_y}, \frac{2n \varepsilon_0 \varepsilon_z E_z}{\| \vec{D} \| \varepsilon_z} \right)$ est donc perpendiculaire à la surface au point $(x, y, z)$ , et par conséquent, le vecteur $\vec{E}$ également.

Tenant compte de cette condition et de la coplanarité de $\vec{E}$ , $\vec{k}$ et $\vec{D}$ , seules deux orientations sont géométriquement permises pour $\vec{D}$ . En effet, l'intersection du plan d'onde (plan perpendiculaire à $\vec{k}$ , auquel appartient donc $\vec{d}$ ) avec l'ellipsoïde est une ellipse. Les conditions géométriques sont remplies dans 2 cas : lorsque $\vec{D}$ est selon le petit axe et lorsqu'il est selon le grand axe de cette ellipse.

Lorsque $\vec{D}$ est colinéaire à $\vec{E}$ , on parle de rayon "ordinaire". Rien de spécial n'arrive au rayon lumineux

Il existe une autre configuration, qui donne lieu à un rayon extraordinaire. Cette dénomination lui est donnée en raison de la violation des lois de Snell-Descartes par ce rayon. Cette violation n'est pas paradoxale, car les lois de Descartes découlent elles-mêmes des équations de Maxwell dans un cas précis (l'isotropie cristalline), qui, elles, sont toujours vérifiées dans le cas de la biréfringence.

Techniques et outils de mesure de la biréfringence

La mesure de la biréfringence d'un milieu est du ressort de la polarimétrie qui a pour objet plus général la mesure de la polarisation de la lumière. Partant d'un échantillon quelconque qu'on supposera transparent et homogène, une mesure de la biréfringence consiste à déterminer :

l'orientation des axes propres de l'ellipse des indices,

la valeur de la biréfringence, c'est-à-dire la différence $Δ n$ entre les indices de réfraction valables pour des rayons lumineux polarisés suivant ces deux axes propres.

Entre deux polariseurs croisés

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À l'aide d'un compensateur

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Biréfringence induite

Il est possible de créer de la biréfringence dans un milieu optiquement isotrope de plusieurs manières.

Par un champ électrique

on parle d’effet Pockels ou effet électro-optique du premier ordre lorsque la biréfringence est proportionnelle au champ électrique appliqué. Cet effet se produit dans les cristaux non centro-symétriques.

si la biréfringence est proportionnelle au carré du champ électrique on parle d’effet Kerr. L’effet Kerr peut intervenir pour des gaz et des liquides. Pour les cristaux il est généralement négligeable devant l’effet Pockels qui est beaucoup plus fort, sauf pour les cristaux ferroélectriques proches de la température de Curie tels que la pérovskite.

l’effet Kerr s’observe également à très haute fréquence : il peut être produit par le champ électrique même du rayon lumineux. On parle alors d’effet Kerr optique, et l’indice de réfraction varie linéairement avec l’intensité lumineuse. C’est cet effet qui est à l’origine du self-focusing (auto-focalisation) des faisceaux lasers de très forte intensité.

Par un champ magnétique

L’effet Faraday est une biréfringence circulaire ou pouvoir rotatoire qui apparaît si on applique un champ magnétique statique ou de basse fréquence parallèlement à la direction de propagation du rayon lumineux. La biréfringence créée est proportionnelle au champ magnétique. On parle alors de biréfringence magnétique circulaire. Cet effet est utilisé dans les isolateurs de Faraday, ou diodes optiques en télécommunications.

L’effet Cotton-Mouton (découvert par Kerr (1901) et étudié par Majorana (1902) puis Cotton et Mouton (1904)), appelé parfois effet Voigt exhibe une biréfringence induite par un champ magnétique perpendiculaire à la direction de propagation. La biréfringence est alors proportionnelle au carré du champ appliqué. Il s’agit d’une biréfringence linéaire et non circulaire. L’effet est faible sauf dans des cas particuliers (suspensions colloïdales avec particules métalliques). Il existe également un effet Cotton-Mouton dans le vide (biréfringence magnétique du vide).

L'effet Kerr magnéto-optique s’observe par réflexion sur une surface d’un matériau soumis à un champ magnétique. Ces effets sont proportionnels au champ magnétique, comme l’effet Faraday, mais ne s’apparentent pas à la biréfringence. Une application bien connue est celle des disques et lecteurs magnéto-optiques.

Par une contrainte mécanique

Les cristaux soumis à des contraintes mécaniques peuvent présenter une biréfringence : on parle de photoélasticité. Lorsque le matériau est transparent, cet effet permet de visualiser les contraintes par interférométrie. Les liquides peuvent également présenter une biréfringence sous contrainte mécanique. Les contraintes étant généralement observées en régime d’écoulement stationnaire, on parle de biréfringence d’écoulement.

Applications

Il existe de nombreuses applications de la biréfringence.

Fabrication d'instruments d'optique

Les propriétés de double réfraction de cristaux tels que le quartz ou la calcite sont utilisées en optique pour former des polariseurs ( prisme de Glan-Thompson, prisme de Glan-Taylor, prisme de Nicol, ...) ou des diviseurs de faisceaux (prisme de Rochon et prisme de Wollaston). On peut aussi utiliser le double indice de réfraction pour fabriquer des lames à retard.

Microscopie en lumière polarisée

Biréfringence dans un basalte

La biréfringence est largement utilisée en microscopie. Le contraste interférentiel de Nomarski et les microscopes polarisants permettent de visualiser des objets de faible contraste : les deux rayons dus à la biréfringence peuvent interférer entre eux. Un des deux rayons, en traversant l'objet à étudier, prend du retard par rapport à l'autre, et l'interférence obtenue dépend de ce retard. Ce microscope permet donc d’observer directement les variations d’épaisseur d’un objet transparent. Cette technique permet de différencier, dans un minéral, différents cristaux de biréfringences différentes, qui apparaîtront avec une couleur et une luminosité différente.

Article détaillé : Microscopie en lumière polarisée.

Photoélasticimétrie

Image obtenue par photoélasticimétrie.

La photoélasticité des matériaux permet de visualiser les contraintes présentes à l'intérieur par la méthode de photoélasticimétrie.

Article détaillé : Photoélasticimétrie.

Notes et références

↑ De manière générale, tout tenseur d'ordre deux peut être représenté par une quadrique. La nature de la quadrique depend des signes de ses valeurs propres.

- Biréfringence du vide : http://www.phys.ens.fr/IMG/pdf/CRizzo_ENS.pdf - Ellipsoïde des indices, ... : "Optique", Georges BRUHAT - Biréfringences induites, ... : "Polarisation de la lumière", Serge HUARD

Voir aussi

Anisotropie

Cristallographie

Minéralogie

Polariseur

Microscopie en lumière polarisée

Lame à retard

Sites web

Polarisation et biréfringence

La double réfraction de la calcite

Ellipsoïde des indices et test de Tutton

Portail de la physique

Portail des minéraux et roches

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Catégories : Phénomène optique | Optique non-linéaire | Cristallographie | Minéralogie

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