Caractéristique d'Euler

En mathématiques, et plus précisément en géométrie et en topologie algébrique, la caractéristique d'Euler — ou d'Euler-Poincaré — est un invariant numérique, un nombre qui décrit un aspect d'une forme d'un espace topologique ou de la structure de cet espace. Elle est communément notée par $\chi\,$ .

La caractéristique d'Euler fut définie à l'origine pour les polyèdres et fut utilisée pour démontrer divers théorèmes les concernant, incluant la classification des solides de Platon. Leonhard Euler, par qui le concept eut son nom, fut responsable pour beaucoup dans ce travail de pionnier. En mathématiques plus modernes la caractéristique d'Euler apparait dans l'homologie et les méthodes cohomologiques. Elle est donnée en général par la somme alternée des dimensions des groupes de cohomologie considérés :

$\chi=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i \mathrm{dim}(H^i)$

Polyèdres

Article détaillé : Théorème de Descartes-Euler.

La caractéristique d'Euler tient son nom du théorème de Descartes-Euler concernant l'étude des polyèdres convexes.

Descartes puis Euler ont remarqué que, pour des polyèdres convexes, la quantité S - A + F, où S correspond au nombre de sommets, A au nombre d'arêtes et F au nombre de faces, restait constamment égale à 2.

La caractéristique d'Euler pour des polyèdres a donc été définie par

$\chi = S - A + F \,$

Constante égale à 2 pour les polyèdres convexes, elle varie dans le cas des polyèdres non convexes pouvant être de - 6 par exemple pour un petit dodécaèdre étoilé, - 4 pour l'octangle étoilé, elle est de 0 pour un polyèdre torique à un trou.

Topologie algébrique

Définition formelle

Les polyèdres discutés ci-dessus sont, en langage moderne, des CW-complexes finis à deux dimensions. (lorsque seules les faces triangulaires sont utilisées, ils sont appelés complexes simpliciaux finis à deux dimensions). En général, pour un CW-complexe fini quelconque, la caractéristique d'Euler peut être définie comme la somme alternée, en dimension d :

$\chi = k_0 - k_1 + k_2 - k_3 + \cdots +(-1)^d k_d$ ,

où $k n$ désigne le nombre de cellules de dimensions $n$ dans le complexe ; cette somme vaut $1 - ( - 1) d$ pour les polytopes convexes.

Plus généralement encore, pour un espace topologique quelconque, nous pouvons définir le n^e nombre de Betti $b n$ comme le rang du n^e groupe homologique. La caractéristique d'Euler peut alors être définie comme la somme alternée

$\chi = b_0 - b_1 + b_2 - b_3 + \cdots$ .

Cette quantité est bien définie si les nombres de Betti sont tous finis et s'ils sont égaux à zéro au-delà d'un certain indice $n 0$ . Cette définition englobe les précédentes.

La même définition s'applique également aux variétés de dimension quelconque. Par exemple, $χ = 2$ pour la sphère, $χ = 1$ pour le disque du plan et le plan projectif, et $χ = 0$ pour le tore et la bouteille de Klein.

Propriétés

Un espace contractible quelconque, (c’est-à-dire, un équivalent homotopique à un point) possède une homologie triviale, ce qui signifie que le 0^e nombre de Betti est 1 et les autres 0. Par conséquent, sa caractéristique d'Euler est 1. Ce cas inclut l'espace euclidien $\R^n$ de dimension quelconque, autant que la boule solide unitaire dans un espace euclidien quelconque — l'intervalle à une dimension, le disque à deux dimensions, la boule à trois dimensions, etc.

La caractéristique d'Euler peut être calculée facilement pour des surfaces générales par un maillage sur la surface (c’est-à-dire, une description sous la forme d'un complexe CW). Pour un objet, elle représente le nombre de singularités nécessaires pour mailler cet objet avec ses géodésiques.

Exemples

La sphère usuelle a pour caractéristique 2. Plus généralement, la sphère $S n$ contenue dans $\mathbb R^{n+1}$ a pour caractéristique 2 si n est pair, et 0 si n est impair. Le cercle $S 1$ a pour caractéristique 0.
Le tore a une caractéristique nulle : il est possible de le mailler sans introduire de singularité. Plus généralement, le tore à n trous a pour caractéristique 2-2n.
l'espace projectif réel de dimension n a pour caractéristique 1 si n est pair, et 0 sinon.

Nom	Image	caractéristique d'Euler
Sphère		2
Tore		0
Ruban de Möbius		0
Bouteille de Klein		0
Deux sphères disjointes		2 + 2 = 4
Plan projectif ou Surface de Boy		1

Théorie des groupes

Dans le cas de la cohomologie des pro-p-groupes, la caractéristique d'Euler permet par exemple de caractériser la dimension cohomologique : soit G un pro-p- groupe, alors, G est de dimension cohomologique inférieure à n si et seulement si la caractéristique d'Euler tronquée à l'ordre n est multiplicative à travers les sous-groupes ouverts de G, c'est-à-dire si et seulement si :

$\forall U<_o G,\sum_{i=0}^n (-1)^i \mathrm{dim}_{\mathbf{F}_p} H^i(U,\mathbf{F}_p)=(G:U)\sum_{i=0}^n (-1)^i \mathrm{dim}_{\mathbf{F}_p} H^i(G,\mathbf{F}_p)$

Voir aussi

Théorème de Descartes-Euler pour le cas des polyèdres.

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