- Calcul du volume de l'hypersphère
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La dérivation suivante pour le calcul du volume de l'hypersphère dépend des définitions précises de la sphère et de la boule. Le volume intérieur d'une sphère est le volume de la boule délimitée par la sphère.
Sommaire
Calcul
Nous intégrerons en coordonnées cartésiennes orthonormales dans l'espace euclidien.
Formule de récurrence
Notons V(n)[r] le volume de la boule de rayon r en dimension n ≥ 1. Alors
- V(1)[r] = 2r
parce que c'est la longueur d'un segment deux fois plus long que le rayon, i.e.
La sphère de dimension 0 qui borde cette boule est constituée des deux points r et -r, donc de mesure nulle.
Pour tout n ≥ 1 nous avons[1] :
Le volume est proportionnel à la n-ième puissance du rayon
Nous montrerons premièrement par récurrence sur n que le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-ième puissance de son rayon. Nous avons déjà observé que c'est vrai en dimension 1. Supposons maintenant que c'est vrai en dimension n, i.e. :
Alors,
Maintenant nous avons établi que pour tout n ≥ 1, le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-ième puissance de son rayon ; c'est-à-dire que si nous notons V(n)[1], le volume de la n-boule unitaire, nous avons :
Deux ou trois dimensions
Dans le cas de V(2)[1] nous avons[2] :
qui est "l'aire intérieure du cercle unité", ou plus exactement, l'aire du disque borné par ce cercle. On en déduit facilement :
Ceci est "le volume intérieur de la sphère unité", ou plus exactement, le volume de la boule délimitée par cette sphére.
Cas général
Essayons maintenant de généraliser cette dérivation au cas de la boule en dimension supérieure :
Voici un graphe de la fonction que nous avons intégrée ici, pour rendre plus facile la visualisation de cette fonction dans plusieurs dimensions :
Les hyperboules se pincent de plus en plus comme la dimension croît. (Plus précisément, puisque nous intégrons en coordonnées rectangulaires, et que les boîtes rectangulaires circonscrites aux boules s'étendent de plus en plus hors des boules comme la dimension croît, les boules nous paraissent de plus en plus pincées au point de vue des coordonnées dans lesquelles nous intégrons.)
Par le changement de variables u = 1 − x2 nous avons :
L'intégrale à droite est connue comme la fonction bêta :
qui peut être exprimée au moyen de la fonction gamma :
À partir de la relation
nous pouvons facilement vérifier par récurrence que pour tout 
Forme générale du volume et aire de l'hypersphère
Par "désintégration de mesure"[3], l'aire de l'hypersphère de dimension n - 1 est la dérivée, par rapport à son rayon, du volume de la boule de dimension n qu'elle borde.
Puisque le volume de la boule de dimension n est
alors l'aire de l'hypersphère de dimension n - 1 qui la borde est
Généralisation
Cette méthode d'intégration peut être généralisée aux espaces Lp (ce qui précède correspond au cas p = 2). En effet, nous avons une relation de récurrence pour la boule unitaire de
de laquelle on peut retrouver la formule
pour le volume de la boule de rayon r dans
la mesure de volume étant, comme auparavant, celle de Lebesgue en coordonnées orthonormales. Il n'est plus possible de calculer l'aire de la surface comme la dérivée du volume par rapport au rayon parce que le rayon n'est plus partout normal à la surface.Cette généralisation a des applications en théorie de l'information, en particulier pour le codage de l'information.
Notes et références
- (en) http://www-staff.lboro.ac.uk/~coael/hypersphere.pdf
- (en) Samuel M. Selby, éditeur. Standard Mathematical Tables, 18e édition, The Chemical Rubber Co., Cleveland, Ohio, 1970.
- (en) D. Leao Jr. et al. Regular conditional probability, disintegration of probability and Radon spaces. Proyecciones. Vol. 23, No. 1, pp. 15–29, May 2004, Universidad Católica del Norte, Antofagasta, Chile PDF
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Deriving the volume of an n-ball » (voir la liste des auteurs)
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
Catégorie :- Cercle et sphère
![\{x\in\mathbb R:|x|\le r\}=[-r,r]~.](5/205f1a5d8934dbe115c8cca4eeb3dd00.png)
![V^{(n+1)}[r] = \int_{-r}^r V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-x^2}\,\right] dx~.](d/b4d999d3c15f5bcb7d36f857349a2419.png)
![V^{(n)}[r] = r^nV^{(n)}[1]~.](c/e9cc6414fcbec23bde5d023d9a56bf18.png)
![V^{(n+1)}[r] = \int_{-r}^r V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-x^2}\,\right] dx~,](e/06e3a9c89f98d1dcb8b6bc09260d1b83.png)
![V^{(n+1)}[r] = r \int_{-1}^1 V^{(n)}\left[\sqrt{r^2-(rx)^2}\,\right] dx~,](0/b80d2c51401283cab6c8f2014d056e40.png)
![V^{(n+1)}[r] = r \int_{-1}^1 V^{(n)}\left[r\sqrt{(1-x^2)}\,\right] dx~,](7/4d753139c37e5a1b74bf1515ba5a8a22.png)
![V^{(n+1)}[r] = r \int_{-1}^1 r^n V^{(n)}\left[\sqrt{(1-x^2)}\,\right] dx = r^{n+1}V^{(n+1)}[1]~.](f/9efecffe881638921bf34309c32f9705.png)
![V^{(n)}[r] = r^nV^{(n)}[1]~,](8/8e8d37e4488dbeadcd81801cbd845ee6.png)
![V^{(n+1)}[1] = \int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\,\right)^nV^{(n)}[1] dx~,](e/09e4ae2015fbe838c13e92d1e17b974a.png)
![V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1]\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1-x^2}\,\right)^n dx~.](c/3cc0a7bdbce35077a79a447dd1cce0dd.png)
![V^{(2)}[1] = V^{(1)}[1]\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = 2\left.\frac{x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x} 2 \right|_{x=-1}^1 = \pi~,](1/f01677097996dafad0045fc1768f58b5.png)
![V^{(3)}[1] = V^{(2)}[1] \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)dx = \frac 4 3 \pi~.](5/c656b76e2d7c40690ddcaaedebe4538c.png)
![V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)^{n/2} dx
= V^{(n)}[1] \cdot 2\int_0^1 \left(1-x^2\right)^{n/2} dx~.](4/2a4fe15a835ca9d1cad04cc4a6e2da9b.png)
![V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \cdot 2\int_0^1 \left(1-x^2\right)^{n/2} dx
= V^{(n)}[1] \int_0^1 u^{n/2}(1-u)^{-1/2} du.](2/50263e0d6f2c81429a9af9e7efa23b69.png)
![V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \cdot\mathrm B\left(\frac n 2 + 1, \frac 1 2 \right)~,](9/de919ef93ca77aa4337c2368de0707e4.png)
![V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \frac
{\Gamma\left(\frac n 2 + 1\right)\Gamma\left( \frac 1 2 \right)}
{\Gamma\left(\frac n 2 + \frac 3 2\right)}~.](b/54bb9659cd4c5269b3352c6de2655915.png)
![V^{(n)}[1] = \frac {\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}~.](0/bb0d70a685bb8589f14adfacd7ab7546.png)
![V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} r^n}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}~,](c/eec324b14c3e6ec0e40e19c7981bf7b6.png)
![S^{(n-1)}[r] = \frac \partial{\partial r} V^{(n)}[r] = \frac {\pi^{n/2} nr^{n-1}}{\Gamma\left(\frac n 2 + 1 \right)}
= \frac {2\pi^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma\left( \frac n 2 \right)}~.](5/b857401cc5af4fac5bb92e9d5d12ca9a.png)
![V^{(n+1)}[1] = V^{(n)}[1] \int_{-1}^1 \big(1 - |x|^p \big)^{n/p} \, dx~,](0/39036b9cd6224ee68d47822431d68738.png)
![V^{(n)}[r] = \frac
{\left[ 2\, \Gamma\left(\frac 1 p + 1\right) r \right]^n}
{\Gamma \left(\frac n p + 1 \right)}](e/e3ebeb298b7a631f53259ba5084519e1.png)
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