Équation de Liouville

Équation de Liouville
Page d'aide sur les redirections Pour l'équation de Liouville dans les systèmes dynamiques, voir Théorème de Liouville (Hamiltonien).

En géométrie différentielle, l’équation de Liouville, du nom du mathématicien français Joseph Liouville, est une équation aux dérivées partielles non-linéaire satisfaite par le facteur conforme f d'une métrique f2(dx2 + dy2) sur une surface de courbure de Gauss constante K :

\Delta \;\log f = -K f^2,

où Δ est l'opérateur de Laplace.

\Delta f= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4 \frac{\partial }{\partial z} \frac{\partial f}{\partial \bar z}

Solution générale

Dans une domaine simplement connexe Ω, la solution générale est donné par :

u(z,\bar z) = \frac{1}{2} \ln \left( 4 \frac{ |d f(z)/ d z|^2 }{ ( 1+K |f(z)|^2)^2 } \right)

où f(z) est une fonction localement méromorphe univalente et 1 + K | f(z) | 2 quand K < 0.

Voir aussi

Références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Équation de Liouville de Wikipédia en français (auteurs)

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