- Fonction univalente
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En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective.
Sommaire
Exemples
Toute transformation de Möbius ϕa d'un disque unitaire ouvert dans lui-même,
où 
est univalente.Propriétés
On peut démontrer que si G et Ω sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et
est une fonction univalente tel que f(G) = Ω (c'est-à-dire que f est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de f ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de f, notée f − 1, est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,
pour tous z dans G
Comparaison avec les fonctions réelles
Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction
donnée par ƒ(x) = x3, cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier (−1, 1).
Bibliographie
- John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1978 (ISBN 0-387-90328-3)
- John B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1996 (ISBN 0-387-94460-5).
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Univalent function » (voir la liste des auteurs)
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