Point rationnel

Point rationnel

En géométrie algébrique, les points rationnels d'une variété algébrique X définie sur un corps k sont, lorsque X est définie par un système d'équations polynomiales, les solutions dans k de ce système.

Sommaire

Définition formelle

Soit X une variété algébrique définie sur un corps k. Un point x\in X est appelé un point rationnel si le corps résiduel k(x) de X en x est égal à k. Cela revient à dire que les coordonnées du point x dans une carte locale affine appartiennent toutes à k. Lorsque la variété algébrique est déduite d'un système d'équations polynômiales homogène ou affine, les points rationnels correspondent aux solutions du système dans k.

L'ensemble des points rationnels de X est noté X(k).

Sur un corps de base algébriquement clos, tous les points (fermés) sont rationnels. Dans le cas contraire, X(k) peut très bien être vide sans que X le soit.

Quelques exemples

Une partie importante de la géométrie arithmétique concerne l'étude des points rationnels des variétés algébriques définies sur un corps de nombres.

  • Si X est la courbe algébrique projective définie par l'équation xp + yp + zp = 0 dans \Q, où p est un nombre premier > 2, les points rationnels X({\Q}) correspondent aux solutions homogènes de l'équation de Fermat d'exposant p. Le point (1: − 1:0) est un point rationnel (sur \Q), par contre le point ( − 1:ξp:0) où \xi_p=e^{2i\pi/p}\in \C est une racine primitive p-ième de l'unité, n'est pas rationnel.
  • La courbe affine x2 + y2 + 1 = 0 sur \R n'a pas de points rationnels.
  • L'ensemble des points rationnels d'un espace affine \mathbb A^n_K s'identifie à Kn. De même l'ensemble des points rationnels d'un espace projectif \mathbb P^n_K (comme variété algébrique) s'identifie à l'espace projectif (K^{n+1} \setminus \{ 0 \})/K^*.

Voir aussi

§ "Points rationnels" de l'article : Variété algébrique

Notes

  1. ↑ (en) Serge Lang et André Néron, Rational points of abelian varieties over function fields, Amer. J. Math. 81 (1959), 95–118
  2. ↑ (en) Brian Conrad (en), Chow's K/k-image and K/k-trace, and the Lang-Néron theorem, Enseign. Math. 52 (2006), 37–108 [lire en ligne]

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Point rationnel de Wikipédia en français (auteurs)

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