- Théorème d'Hoffman-Singleton
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Le théorème d'Hoffman-Singleton établit en 1960 par Alan Hoffman (en) et Robert Singleton stipule que tout Graphe de Moore de diamètre 2 ne peut avoir qu'un degré d égal à 2,3,7 ou 57.
Sommaire
Les différents graphes de Moore
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Le pentagone est un graphe de Moore à 5 sommets (d=2).
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Le graphe de Petersen est un graphe de Moore à 10 sommets (d=3).
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Le graphe de Hoffman-Singleton est un graphe de Moore à 50 sommets (d=7).
L'existence d'un Graphe de Moore de diamètre 2 possédant 57 sommets est encore un problème ouvert.
Formulation Algébrique
Théorème — Soit une matrice à coefficient 0 ou 1 de trace nulle tel qu'il existe vérifiant:
On a alors .
DémonstrationOn va tout d'abord montrer que n = d2 + 1.
Comme A est symétrique on a :
En particulier (A2)ii représente le nombre de 1 dans la ième ligne de A. Ainsi en remplaçant dans l'équation on obtient:
(A2)ij + Aii − (d − 1) = 1 et donc (A2)ii = d D'autre part on a aussi . Ainsi en remplaçant à nouveau dans l'équation on obtient :
et donc d2 + 1 = n .Cherchons ensuite des contraintes sur les valeurs propres de la matrice A.
Soit donc λ une valeur propre de A et v un vecteur propre associé. On a donc aussi :
(λ2 + λ − (d − 1)).v = Jn.v Et donc (λ2 + λ − (d − 1)) est une valeur propre de la matrice Jn associée à v, or cette matrice à pour valeurs propres 0 (associée à un sous espace propre de dimension n-1) et n (associé à un sous espace propre de dimension un) avec de plus .
Ainsi:
- Soit et alors λ = d
- Soit (λ2 + λ − (d − 1)) = 0 et donc avec :
Donnons les valeurs possible pour d.donc elle est diagonalisable avec comme valeurs propres d,λ1,λ2 et des sous espaces propres associés de dimensions 1,α1,α2, comme la trace de A est nulle on a :
La seconde équation donne :
donc d'après la première relation ou encore .
- Si α1 = α2 alors d=2
- Sinon on doit avoir donc 4d − 3 = k2 on a alors k(α1 − α2) = d(d − 2) donc k divise d(d-2) donc k divise donc en particulier k divise 15 et donc d'où .
Voir aussi
Liens internes
Références
- Sujet ENS 1986 section A1 épreuve de MATH.2
Catégorie :- Famille de graphes
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