Théorème d'Hoffman-Singleton

Théorème d'Hoffman-Singleton: Le théorème d'Hoffman-Singleton établit en 1960 par Alan Hoffman (en) et Robert Singleton stipule que tout Graphe de Moore de diamètre 2 ne peut avoir qu'un degré d égal à 2,3,7 ou 57.

Sommaire

1 Les différents graphes de Moore

2 Formulation Algébrique

3 Voir aussi

3.1 Liens internes

3.2 Références

Les différents graphes de Moore

Le pentagone est un graphe de Moore à 5 sommets (d=2).

Le graphe de Petersen est un graphe de Moore à 10 sommets (d=3).

Le graphe de Hoffman-Singleton est un graphe de Moore à 50 sommets (d=7).

L'existence d'un Graphe de Moore de diamètre 2 possédant 57 sommets est encore un problème ouvert.

Formulation Algébrique

Théorème — Soit $A \in\mathcal{S}^n(\R)$ une matrice à coefficient 0 ou 1 de trace nulle tel qu'il existe $d \ge 1$ vérifiant:
$A^{2}+A-(d-1)I_{n}=\begin{pmatrix} 1 & ... & 1\\ .. & . & ..\\ 1& ... & 1\end{pmatrix}=J_{n}$
On a alors $d \in \{1,2,3,7,57\}$ .

Démonstration

On va tout d'abord montrer que $n = d 2 + 1$ .

Comme $A$ est symétrique on a :
$(A^{2})_{ij}=\sum_{k=0}^{n}A_{ik}A{kj}=\sum_{k=0}^{n}A_{ik}A{jk}$
En particulier $(A 2) i i$ représente le nombre de 1 dans la ième ligne de $A$ . Ainsi en remplaçant dans l'équation on obtient:
$(A 2) i j + A i i - (d - 1) = 1$ et donc $(A 2) i i = d$
D'autre part on a aussi $A.\begin{pmatrix}1 \\1\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}=d\begin{pmatrix}1 \\1\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$ . Ainsi en remplaçant à nouveau dans l'équation on obtient :
$(d^{2}+d-(d-1))\begin{pmatrix}1 \\1\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}1 \\1\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$ et donc $d 2 + 1 = n$ .
Cherchons ensuite des contraintes sur les valeurs propres de la matrice $A$ .

Soit donc $λ$ une valeur propre de $A$ et $v$ un vecteur propre associé. On a donc aussi :
$(λ 2 + λ - (d - 1)). v = J n . v$
Et donc $(λ 2 + λ - (d - 1))$ est une valeur propre de la matrice $J n$ associée à $v$ , or cette matrice à pour valeurs propres 0 (associée à un sous espace propre de dimension n-1) et n (associé à un sous espace propre de dimension un) avec de plus $\textrm{Ker}(J_{n}-nI_{n})=Vect(\begin{pmatrix}1 \\1\\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix})$ .

Ainsi:

Soit $v \in \textrm{Ker}(J_{n}-nI_{n})$ et alors $λ = d$

Soit $(λ 2 + λ - (d - 1)) = 0$ et donc $\lambda \in \{\lambda_{1},\lambda_{2}\}$ avec :

$\lambda_{1}=\frac{-1+\sqrt{4d-3}}{2} \quad \lambda_{2}=\frac{-1-\sqrt{4d-3}}{2}$

Donnons les valeurs possible pour d.

$A \in\mathcal{S}^n(\R)$ donc elle est diagonalisable avec comme valeurs propres $d,λ 1,λ 2$ et des sous espaces propres associés de dimensions $1,α 1,α 2$ , comme la trace de $A$ est nulle on a : $\left\{\begin{matrix} 1+\alpha_{1}+\alpha_{2} =n=d^{2}+1 \\ d+\alpha_{1}\lambda_{1}+\alpha_{2}\lambda_{2} = 0 \end{matrix}\right.$

La seconde équation donne :

$-\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2}+\sqrt{4d-3}\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}=-d$ donc d'après la première relation $-\frac{d^{2}}{2}+\sqrt{4d-3}\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}=-d$ ou encore $\sqrt{4d-3}(\alpha_{1}-\alpha_{2})=-d(d-2)$ .

Si $α 1 = α 2$ alors d=2

Sinon on doit avoir $\sqrt{4d-3} \in \mathbb{Q}$ donc $4 d - 3 = k 2$ on a alors $k (α 1 - α 2) = d (d - 2)$ donc k divise d(d-2) donc k divise $\frac{k^{2}+3}{4}\frac{k^{2}-5}{4}$ donc en particulier k divise 15 et donc $k \in \{1,3,5,15\}$ d'où $d \in \{1,2,3,7,57\}$ .

Voir aussi

Liens internes

Théorie des graphes

Graphe régulier

Graphe de Moore

Références

Sujet ENS 1986 section A1 épreuve de MATH.2

Portail de l'informatique théorique

Catégorie :
Famille de graphes

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème d'Hoffman-Singleton de Wikipédia en français (auteurs)

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