- Theoreme de Liouville (approximation diophantienne)
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Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
C'est un résultat d'approximation de nombres complexes par des rationnels : les nombres algébriques sont "mal" approchés par les rationnels.
Enoncé
Soit a un nombre algébrique, de polynôme minimal Pa, et de degré d > 1. Alors il existe une constante c > 0 telle que pour tout rationnel,
, on ait:
frac{c}{q^d}" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/101/eebec4dc5e518273149cedb9de470857.png" border="0">.
En 1844, Liouville en déduit les premiers exemples de nombres transcendants comme la somme des inverses des 10n!
Démonstration du théorème
Soit
tel que
.
Pour tout rationnel
, on a
entier car
, et Y n'est pas nul, puisque
. Donc :
.
Si
, on a immédiatement
. Sinon, d'après l'inégalité des accroissements finis, on a
Posons C' = max[a − 1,a + 1] | P'(x) | , et C = min(1,1 / C'). On a dans tous les cas
.
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