Theoreme de Liouville (approximation diophantienne)

Theoreme de Liouville (approximation diophantienne): Théorème de Liouville (approximation diophantienne)

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Liouville.

C'est un résultat d'approximation de nombres complexes par des rationnels : les nombres algébriques sont "mal" approchés par les rationnels.

Enoncé

Soit $a$ un nombre algébrique, de polynôme minimal $P a$ , et de degré $d > 1$ . Alors il existe une constante $c > 0$ telle que pour tout rationnel, $\frac{p}{q}$ , on ait:

$\left| a - \frac{p}{q} \right| > \frac{c}{q^d}$ .

En 1844, Liouville en déduit les premiers exemples de nombres transcendants comme la somme des inverses des $10 n!$

Démonstration du théorème

Soit $k \in \mathbb{N}^*$ tel que $P=k.P_a \in \mathbb{Z}[X]$ .

Pour tout rationnel $\frac{p}{q}$ , on a $Y = q^dP\left(\frac{p}{q}\right)$ entier car $P \in \mathbb{Z}[X]$ , et $Y$ n'est pas nul, puisque $d \geq 2$ . Donc :

$|q^d(P(a)-P(p/q))| = |q^dP(p/q)| \geq 1$ .

Si $\left|a-\frac{p}{q}\right| \geq 1$ , on a immédiatement $\left|a-\frac{p}{q}\right| \geq q^{-d}$ . Sinon, d'après l'inégalité des accroissements finis, on a

$\left|a-\frac{p}{q}\right| \geq \frac{1}{\max_{[a-1,a+1]}|P'(x)|}\, |P(a)-P(p/q)| \geq \frac{1}{\max_{[a-1,a+1]}|P'(x)|}\,q^{-d}$

Posons $C' = max [a - 1, a + 1] | P'(x) |$ , et $C = min(1,1 / C')$ . On a dans tous les cas $\left|a-\frac{p}{q}\right| \geq \frac{C}{q^d}$ .

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Catégories : Théorème de mathématiques | Approximation diophantienne

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