Produit (catégorie)

Produit (catégorie)

Dans une catégorie, le produit peut s'exprimer par une propriété universelle ou de manière équivalente comme foncteur représentable.

Définition

produit

Soit C une catégorie et (X_i)_{i\in I} une famille d'objets de C. On cherche un objet X ainsi qu'une famille de morphismes \pi_i : X\to X_i tel que pour tout objet Y de C et pour toute famille de morphismes f_i : Y\to X_i, il existe un unique morphisme f:Y\to X tel que pour tout indice i, on a \pi_i\circ f =f_i.

Si un tel objet X existe, on l'appelle produit des (X_i)_{i\in I}, les morphismes πi sont les projections canoniques et les morphismes fi sont les composantes de f.

Dans la catégorie des ensembles, le produit existe et s'appelle produit cartésien. Dans toute autre catégorie, le produit des (X_i)_{i\in I}, lorsqu'il existe représente le foncteur qui à un objet Y de C associe le produit cartésien \prod_{i\in I} Hom(Y,X_i).

Produit et somme

La somme est la propriété duale du produit : la somme correspond au produit de la catégorie opposée.

Exemples


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Produit (catégorie) de Wikipédia en français (auteurs)

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