- Foncteur représentable
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On rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple.
Sommaire
Définition
Soit C une catégorie et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de C dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable si et seulement s'il existe un objet X de C tel que F soit isomorphe au foncteur
, respectivement au foncteur
.
Lemme de Yoneda
Les morphismes de
dans F correspondent bijectivement aux éléments de F(X).
Ainsi, on dit que le foncteur F est représenté par (X,ζ) (où ζ est un élément de F(X)) lorsque
est un isomorphisme de foncteur.
Foncteurs covariants représentables
- Somme
Soit C une catégorie, A et B deux objets de C. On considère le foncteur de C dans Ens qui à X associe
. Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle de la somme.
Soit I un ensemble et A un anneau commutatif. Le foncteur de la catégorie des A-module dans Ens (respectivement catégorie des groupes, des groupes commutatifs, des monoîdes, des A-algèbre) qui au A-module (respectivement toutes la ribambelle) associe FI est représentable. On obtient le A-module libre A(I), respectivement, le groupe libre de base I, le groupe commutatif A(I), le monoïde libre des mots basé sur l'alphabet I, l'algèbre des polynômes dont I est l'ensemble des indéterminéees.
- Complété
Soit E un espace métrique. Le foncteur de la catégorie des espace métriques complets dans Ens qui à un espace métrique complet X associe Hom(E,X) est représenté par le complété de E.
- Compactifié de Stone-Čech
Soit E un espace topologique. Le foncteur de la catégorie des espaces topologiques compacts dans Ens qui à un espace compact X associe Hom(E,X) est représenté par le compactifié de Stone-Čech de E.
Soit A un anneau commutatif unitaire et E et F deux A-modules. Le produit tensoriel de E et F représente le foncteur qui à un A-module G associe l'ensemble des applications bilinéaires de
dans G.
Foncteurs contravariants représentables
Soit C une catégorie, A et B deux objets de C. On considère le foncteur de C dans Ens qui à X associe
. Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle du produit.
Soit X un espace topologique et Y une partie de X. La topologie induite par X sur Y muni de l'injection canonique représente le foncteur de Top dans Ens qui à A associe l'ensemble des apllications continues de A dans X dont l'image est incluse dans Y.
Soit X un espace topologique localement compact et Y un espace topologique. Le foncteur
est représenté par l'espace des fonctions continues de X dans Y muni de la topologie compacte-ouverte.
Référence
Adrien Douady et Régine Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]
Wikimedia Foundation. 2010.