- M-matrice
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En mathématiques, une -matrice est une matrice carrée réelle qui est à la fois une -matrice et une -matrice, ce qui signifie que tous ses mineurs principaux sont strictement positifs et que ses éléments extra-diagonaux sont négatifs. D'autres caractérisations peuvent être utilisées, dont certaines sont données ci-dessous.
Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire et dans certaines discrétisations d'opérateurs différentiels, en particulier ceux obéissant à un principe du maximum, comme le laplacien.
Cette classe de matrices semble avoir été introduite par Alexander Ostrowski en référence à Hermann Minkowski[1].
Sommaire
Définitions
La notion de -matrice peut se définir de différentes manières, bien sûr équivalentes. On utilise ci-dessous les notions de -matrice, de -matrice et de -matrice.
-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle est une -matrice si c'est une -matrice et si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée, équivalentes sous l'hypothèse que :
- ,
- ,
- M est inversible et (tous les éléments de son inverse son positifs),
- toutes les valeurs propres de M ont une partie réelle strictement positive.
On note l'ensemble des -matrices d'ordre quelconque. On appelle -matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à
Propriétés
Algèbre linéaire
Les facteurs LU d'une -matrice existent et peuvent être calculés de manière stable, sans pivotage. Cette propriété a également lieu pour la factorisation LU incomplète.
Complémentarité linéaire
Un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur tel que et Dans cette définition, est le transposé de x et les inégalités doivent se comprendre composante par composante. Ce problème est parfois noté de manière compacte comme suit
L'ensemble admissible de ce problème est noté
L'importance des -matrices dans les problèmes de complémentarité linéaire provient du résultat suivant.
-matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice , les propriétés suivantes sont équivalentes :
- ,
- pour tout q, contient un minimum (pour l'ordre de ) qui est l'unique solution de ,
- pour tous vecteurs , les solutions de vérifient .
Annexes
Notes
- (en) Pages 134, 161 (théorème 2.3 et note 6.1 du chapitre 6) chez Bermon et Plemmons (1994).
Articles connexes
Bibliographie
- (en) A. Bermon, R.J. Plemmons (1994). Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphie, USA. ISBN 0898713218.
- (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
- (en) R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.
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