Z-matrice

Z-matrice: En mathématiques, une $\mathbf{Z}$ -matrice est une matrice carrée réelle dont les éléments extra-diagonaux sont négatifs. Ces matrices apportent des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire.

Sommaire

1 Définitions

2 Propriété

2.1 Complémentarité linéaire

3 Annexes

3.1 Article connexe

3.2 Bibliographie

Définitions

Une matrice carrée réelle $M\in\R^{n\times n}$ est une $\mathbf{Z}$ -matrice si tous ses éléments extra-diagonaux sont négatifs :

$\forall\,(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2 ~\mbox{avec}~ i\ne j ~\mbox{on a}~ M_{ij}\leqslant 0.$

Les éléments de la diagonale de $M$ peuvent être de signe arbitraire.

On note $\mathbf{Z}$ l'ensemble des $\mathbf{Z}$ -matrices d'ordre quelconque. On appelle $\mathbf{Z}$ -matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à $\mathbf{Z}.$

Propriété

Complémentarité linéaire

Les $\mathbf{Z}$ -matrices apportent des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire. Rappelons la définition de ces problèmes.

Pour un vecteur $v\in\R^n$ , la notation $v\geqslant 0$ signifie que toutes les composantes $v i$ du vecteur sont positives. Étant donnés une matrice réelle carrée $M\in\R^{n\times n}$ et un vecteur $q\in\R^n$ , un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\in\R^n$ tel que $x\geqslant 0$ , $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top}(Mx+q)=0$ , ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :

$\mbox{CL}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp(Mx+q)\geqslant 0.$

L'ensemble admissible de ce problème est noté

$\mbox{Adm}(M,q):=\{x\in\R^n: x\geqslant 0,~Mx+q\geqslant 0\}.$

$\mathbf{Z}$ -matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice $M\in\R^{n\times n}$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

$M\in\mathbf{Z}$ ,

pour tout $q$ rendant $\operatorname{CL}(M,q)$ réalisable, $\operatorname{Adm}(M,q)$ contient un minimum (pour l'ordre $\leqslant$ de $\R^n$ ) qui est solution de $\operatorname{CL}(M,q)$ .

On déduit de ce résultat que
$\mathbf{Z}\subset\mathbf{Q}_0.$
où $\mathbf{Q}_0$ est l'ensemble des matrices $M$ telles que $\operatorname{CL}(M,q)$ a une solution pour tout $q\in\R^n$ rendant le problème de complémentarité admissible.

Annexes

Article connexe

Complémentarité linéaire

Bibliographie

(en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.

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Complémentarité linéaire

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