Z-matrice

Z-matrice: En mathématiques, une $\mathbf{Z}$ -matrice est une matrice carrée réelle dont les éléments extra-diagonaux sont négatifs. Ces matrices apportent des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire.

Sommaire

1 Définitions

2 Propriété

2.1 Complémentarité linéaire

3 Annexes

3.1 Article connexe

3.2 Bibliographie

Définitions

Une matrice carrée réelle $M\in\R^{n\times n}$ est une $\mathbf{Z}$ -matrice si tous ses éléments extra-diagonaux sont négatifs :

$\forall\,(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2 ~\mbox{avec}~ i\ne j ~\mbox{on a}~ M_{ij}\leqslant 0.$

Les éléments de la diagonale de $M$ peuvent être de signe arbitraire.

On note $\mathbf{Z}$ l'ensemble des $\mathbf{Z}$ -matrices d'ordre quelconque. On appelle $\mathbf{Z}$ -matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à $\mathbf{Z}.$

Propriété

Complémentarité linéaire

Les $\mathbf{Z}$ -matrices apportent des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire. Rappelons la définition de ces problèmes.

Pour un vecteur $v\in\R^n$ , la notation $v\geqslant 0$ signifie que toutes les composantes $v i$ du vecteur sont positives. Étant donnés une matrice réelle carrée $M\in\R^{n\times n}$ et un vecteur $q\in\R^n$ , un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\in\R^n$ tel que $x\geqslant 0$ , $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top}(Mx+q)=0$ , ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :

$\mbox{CL}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp(Mx+q)\geqslant 0.$

L'ensemble admissible de ce problème est noté

$\mbox{Adm}(M,q):=\{x\in\R^n: x\geqslant 0,~Mx+q\geqslant 0\}.$

$\mathbf{Z}$ -matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice $M\in\R^{n\times n}$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

$M\in\mathbf{Z}$ ,

pour tout $q$ rendant $\operatorname{CL}(M,q)$ réalisable, $\operatorname{Adm}(M,q)$ contient un minimum (pour l'ordre $\leqslant$ de $\R^n$ ) qui est solution de $\operatorname{CL}(M,q)$ .

On déduit de ce résultat que
$\mathbf{Z}\subset\mathbf{Q}_0.$
où $\mathbf{Q}_0$ est l'ensemble des matrices $M$ telles que $\operatorname{CL}(M,q)$ a une solution pour tout $q\in\R^n$ rendant le problème de complémentarité admissible.

Annexes

Article connexe

Complémentarité linéaire

Bibliographie

(en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.

Portail des mathématiques

Catégories :
Matrice
Complémentarité linéaire

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Z-matrice de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

Matrice (algèbre) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire … Wikipédia en Français
Matrice (mathematiques) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire … Wikipédia en Français
Matrice carrée — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire … Wikipédia en Français
Matrice Diagonalisable — En algèbre linéaire, une matrice carrée M d ordre n ( ) à coefficients dans un corps commutatif K, est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c est à dire s il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D … Wikipédia en Français
matrice — [ matris ] n. f. • 1265; lat. matrix 1 ♦ Vieilli Utérus. Inflammation de la matrice. ⇒ métrite. Fig. « La terre, inépuisable et suprême matrice » (Hugo). 2 ♦ (1556 ) Techn. Moule qui, après avoir reçu une empreinte particulière en creux et en… … Encyclopédie Universelle
Matrice Définie Positive — En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. On introduit tout d abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou complexes : aT désigne la… … Wikipédia en Français
Matrice Inversible — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In suffit d aprés le… … Wikipédia en Français
Matrice definie positive — Matrice définie positive En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif. On introduit tout d abord les notations suivantes ; si a est une matrice à éléments réels ou… … Wikipédia en Français
Matrice inverse — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… … Wikipédia en Français
Matrice non singulière — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… … Wikipédia en Français
Matrice par blocs — Matrice par bloc En théorie des matrices, une matrice par bloc ou matrice partitionnée est une matrice pouvant être divisée en matrices rectangulaires de dimensions inférieures appelées blocs. On peut dire également que la matrice est écrite en… … Wikipédia en Français

Mark and share
Search through all dictionaries
Translate…
Search Internet

Share the article and excerpts