Groupe De Weyl

Groupe De Weyl

Groupe de Weyl

En mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d'un système de racines \Phi\, est le sous-groupe du groupe d'isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans orthogonaux aux racines.

Exemple

Le système de racines de A_2\, est constitué des sommets d'un hexagone régulier centré à l'origine. Le groupe complet des symétries de ce système de racines est par conséquent le groupe diédral d'ordre 12. Le groupe de Weyl est engendré par les réflexions à travers les droites bissectant les paires de cotés opposés de l'hexagone; c'est le groupe diédral d'ordre 6.

Le groupe de Weyl d'un groupe de Lie semi-simple, d'une algèbre de Lie semi-simple, d'un groupe algébrique linéaire semi-simple, etc. est le groupe de Weyl du système de racines de ce groupe ou de cette algèbre.

Les chambres de Weyl

Enlever les hyperplans définis par les racines de \Phi\, découpe l'espace euclidien en un nombre fini de régions ouvertes, appelées les chambres de Weyl. Celles-ci sont permutées par l'action sur le groupe de Weyl, et un théorème établit que cette action est simplement transitive. En particulier, le nombre de chambres de Weyl est égal à l'ordre du groupe de Weyl. Tout vecteur v différent de zéro divise l'espace euclidien en deux demi-espaces bordant l'hyperplan v^{\and}\, orthogonal à v, nommés v^{+}\, et v^{-}\,. Si v appartient à une certaine chambre de Weyl, aucune racine ne se trouve dans v'^{\and}\,, donc chaque racine se trouve dans v^{+}\, ou v^{-}\,, et si \alpha\, se trouve dans l'un d'eux, alors - \alpha\, se trouve dans l'autre. Ainsi, \Phi^{+} := \Phi \cap v^{+}\, constitué d'exactement la moitié des racines de \Phi\,. Bien sûr, \Phi^{+}\, dépend de v, mais il ne change pas si v reste dans la même chambre de Weyl.

La base du système de racine qui respecte le choix de \Phi\, est l'ensemble des racines simple dans \Phi^{+}\,, i.e., les racines qui ne peuvent pas être écrites comme une somme de deux racines dans \Phi^{+}\,. Ainsi, les chambres de Weyl, l'ensemble \Phi^{+}\, et la base en déterminent un autre, et le groupe de Weyl agit simplement transitivement dans chaque cas. L'illustration suivante montre les six chambres de Weyl d'un système de racines A_2\,, un choix de v, l'hyperplan v^{\and}\, (indiqué par une droite en pointillé) et les racines positives \alpha\,, \beta\,, et \gamma\,. La base dans ce cas est (\alpha\,,\gamma\,}.

Weyl chambers.png

Les groupes de Coxeter

Les groupes de Weyl sont des exemples des groupes de Coxeter. Ceci signifie qu'ils ont une sorte particulière de présentation dans laquelle chaque générateur x_i\, est d'ordre deux, et les relations autres que x_i^2\, sont de la forme (x_i x_j)^{m_{ij}}\,. Les générateurs sont les réflexions données par les racines simples et m_{ij}\, est 2, 3, 4 ou 6 dépendant si les racines i et j font un angle de 90, 120, 135 ou 150 degrés, i.e., si dans le Diagramme de Dynkin, elles ne sont pas connectées, connectées avec une arête simple, connectées par une double arête ou connectées par une triple arête. La longueur d'un élément du groupe de Weyl les la longueur du mot le plus court représentant cet élément en termes de ces générateurs standards.

Si G est un groupe algébrique linéaire semisimple sur un corps algébriquement clos (plus généralement un groupe déployé), et T est un tore maximal, le normalisateur N de T contient T comme sous-groupe d'indice fini et le groupe de Weyl W de G est isomorphe à N/T. Si B est un sous-groupe de Borel de G, i.e. un sous-groupe connexe résoluble maximal choisi contenir T, alors nous obtenons une décomposition de Bruhat

G = \bigsqcup_{w\in W} BwB\,

ce qui provoque la décomposition de la variété de drapeaux G/B en cellules de Schubert (voir Grassmannienne).

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Groupe de Weyl ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Groupe De Weyl de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Groupe de weyl — En mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d un système de racines est le sous groupe du groupe d isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans …   Wikipédia en Français

  • Groupe de Weyl — En mathématiques, et en particulier dans la théorie des algèbres de Lie, le groupe de Weyl d un système de racines est le sous groupe du groupe d isométries du système de racines engendré par les réflexions orthogonales par rapport aux hyperplans …   Wikipédia en Français

  • WEYL (H.) — La caractéristique la plus surprenante de l’œuvre de Weyl est son extraordinaire diversité et, malgré les brusques passages d’un domaine de recherche à un autre qui jalonnent sa vie, son influence fut grande. «Son œuvre, écrivent C. Chevalley et… …   Encyclopédie Universelle

  • Groupe Topologique Compact — Un groupe topologique compact ou groupe compact est un groupe topologique G tel que l espace topologique sous jacent soit compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l étude. Ces groupes comprennent… …   Wikipédia en Français

  • Groupe topologique compact — Un groupe topologique compact ou groupe compact est un groupe topologique G tel que l espace topologique sous jacent soit compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l étude. Ces groupes comprennent… …   Wikipédia en Français

  • Groupe (mathématique) — Groupe (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Groupe.  Cet article concerne une introduction au concept de groupe. Pour un approfondissement, voir théorie des groupes …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Lie — En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c est à dire que chaque élément du groupe peut être approché d aussi près que l on veut par une suite d autres éléments du groupe. Un groupe de Lie est en fait un peu plus qu un… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de lie — En mathématiques, un groupe de Lie est un groupe qui est continu, c est à dire que chaque élément du groupe peut être approché d aussi près que l on veut par une suite d autres éléments du groupe. Un groupe de Lie est en fait un peu plus qu un… …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Coxeter — Un groupe de Coxeter est un groupe généré par des réflexions sur un espace. Les groupes de Coxeter se retrouvent virtuellement dans tous les domaines des mathématiques et de la géométrie. En particulier, les groupes diédraux, ou les groupes d… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de coxeter — Un groupe de Coxeter est un groupe généré par des réflexions sur un espace. Les groupes de Coxeter se retrouvent virtuellement dans tous les domaines des mathématiques et de la géométrie. En particulier, les groupes diédraux, ou les groupes d… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”