Décomposition d'une matrice en éléments propres

Décomposition d'une matrice en éléments propres

En algèbre linéaire, la décomposition d'une matrice en éléments propres est la factorisation de la factrice en une forme canonique où les coefficients matriciels sont obtenus à partir des valeurs propres et des vecteurs propres.

Sommaire

Aspects théoriques de la détermination des valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice

valeur propre, vecteur propre, espace propre

Un vecteur non nul v à N lignes est un vecteur propre d'une matrice carrée à N lignes et N colonnes A si et seulement si il existe un scalaire λ tel que :

\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

où λ appelé valeur propre associée à v. Cette dernière équation est appelée équation aux valeurs propres.

Ces valeurs propres sont les solutions de l'équation :

p\left(\lambda\right) := \det\left(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}\right)= 0. \!\

On appelle p(λ) le polynôme caractéristique de A, et cette équation, l'équation caractéristique, est une équation polynomiale de degré N dont λ est l'inconnue. Cette équation admet Nλ solutions distinctes, avec 1 ≤ Nλ ≤ N . L'ensemble des solutions, i.e. des valeurs propres, est appelé spectre de A.

On peut factoriser p :

p\left(\lambda\right)= (\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{n_k} = 0 \!\

avec

\sum\limits_{i=1}^{N_{\lambda}}{n_i} =N.

Pour chaque valeur propre λi, on a une équation particulière :

\left(\mathbf{A} - \lambda_i \mathbf{I}\right)\mathbf{v} = 0. \!\

Qui admet 1 ≤ mi ≤ ni vecteurs solutions linéairement indépendants Pour chaque valeur popre. Les solutions mi sont les vecteurs propres associés à la valeur propre λi. L'entier mi la multiplicité de la racine λi. Il est important de remarquer que la dimension ni de l'espace propre associé à la valeur propre λi et la multiplicité mi peuvent être égales ou non, mais qu'on a toujours : mi ≤ ni. Le cas le plus simple est évidemment mi = ni = 1.


Le nombre de vecteurs propres indépendants de la matrice, Nv est égal à la somme : \sum\limits_{i=1}^{N_{\lambda}}{m_i} =N_{\mathbf{v}}. Les vecteurs propres peuvent alors être indexés par leurs valeurs propres respectives, avec un double indice : on appellera alors vi,j le jème vecteur propre associé à la ième valeur propre. Les vecteurs propres peuvent aussi être notés plus simplement, avec un seul indice : vk, avec k = 1, 2, ... , Nv.

Décomposition d'une matrice en éléments propres

Soit A une matrice carrée (N lignes et N colonnes) admettant N vecteurs propres linéairement indépendants, q_i \,\, (i = 1, \dots, N). Alors, A peut s'écrire sous la forme :

\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}

Où Q est une matrice carrée (à N lignes et N colonnes) dont la ième colonne est le vecteur propre qi de A et Λ est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres, i.e., Λii = λi.

Les vecteurs propres q_i \,\, (i = 1, \dots, N) sont souvent normés, mais pas toujours. Une base de vecteurs propres non normés, v_i \,\, (i = 1, \dots, N), peut aussi être utilisée pour former les colonnes de Q.

Inversion d'une matrice via sa décomposition en éléments propres

matrice inversible

Si une matrice carrée A est diagonalisable et que tous ses vecteurs propres sont non nuls, alors A est inversible, et son inverse vaut :

\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{Q}^{-1}

Or, Λ étant une matrice diagonale, les coefficients de son inverse se calculent trivialement :

\left[\Lambda^{-1}\right]_{ii}=\frac{1}{\lambda_i}


Conséquences sur le calcul des puissances

La décomposition en éléments simples permet de calculer facilement les fonctions polynomiales de matrices. Soit f(x) définie par :

f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots

Alors, on sait que :

f\left(\mathbf{A}\right)=\mathbf{Q}f\left(\mathbf{\Lambda}\right)\mathbf{Q}^{-1}

Et Λ étant une matrice diagonale, un polynôme en Λ est très facile à calculer :

\left[f\left(\mathbf{\Lambda}\right)\right]_{ii}=f\left(\lambda_i\right)

Les coefficients non-diagonaux de f(Λ) sont nuls ; f(Λ) est donc également une matrice diagonale. Le calcul de f(A) revient donc à calculer l'image par f de chaque valeur propre.

A similar technique works more generally with the holomorphic functional calculus, using

\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{Q}^{-1}

from above. Once again, we find that

\left[f\left(\mathbf{\Lambda}\right)\right]_{ii}=f\left(\lambda_i\right)

Exemples

\mathbf{A}^{2}=(\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1})(\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}) = \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}(\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{Q})\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{2}\mathbf{Q}^{-1}
\mathbf{A}^{n}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{n}\mathbf{Q}^{-1}

Cas particuliers de décomposition en éléments simples

Matrices symétriques réelles

Toute matrice à N lignes et N colonne matrice symétrique réelle admet N vecteurs propres linéairement indépendants. De plus, ces vecteurs peuvent être choisis de façon à être orthogonaux deux à deux et être normés. Donc, toute matrice symétrique réelle A peut s'écrire sous la forme :

\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{T}

où Q est une matrice orthogonale, et Λ est une matrice diagonale réelle.

Matrices normales

De la même façon, une matrice normale complexe admet une base orthonormale de vecteurs propres, et peut donc s'écrire sous la forme :

\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U}^{H}

Où U est une matrice unitaire. De plus, si A est hermitienne, la matrice diagonale Λ a tous ses coefficients réels, et si A est unitaire, les coefficients diagonaux de Λ ont tous pour module 1.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Décomposition d'une matrice en éléments propres de Wikipédia en français (auteurs)

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