Comma (métrologie)

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Un comma est une faible quantité qui s'exprime par une fraction arithmétique, généralement rationnelle, dont la valeur est relativement proche de l'unité.

En musicologie les commas  (plus correctement même :  commata, au pluriel)  furent étudiés intensément, surtout avant le règne de la gamme tempérée.
En métrologie, similairement, le comma est une notion de la métrologie historique, concernant les mesures d'avant l'instauration du système métrique.

La définition de la valeur maximum de cette faible quantité, c'est-à-dire, de ce qui est comma et de ce qui ne l'est plus, dépend des champs d'applications.

Histoire

En métrologie historique la notion de comma est relativement récente. Les ratios simples entre les mesures furent mentionnés dès l'Antiquité par Héron d'Alexandrie et bien d'autres. Les déductions des mesures anciennes entre elles, sont admises et reconnues par la métrologie historique contemporaine. Les mesures anciennes sont déduites, les unes des autres, par des ratios, dont et le numérateur et le dénominateur sont généralement sept-lisse ou plus lisse, occasionnellement seulement aussi onze-lisse. Il est évident que, nécessairement, par le jeu des déductions prenant d'autres chemins pour arriver presque au même résultat, l'existence de commas est inhérent au système. Malgré tout, pendant longtemps, ils furent négligés. Les petites inexactitudes furent globalement, et sans examen approfondi, attribuées au mauvais travail des métrologues anciens.

Le premier à se soucier du comma métrologique fut probablement le métrologue historique allemand Rolf C.A. Rottländer^[1]. Il constitua, en tant que professeur de l'université de Tübingen, un groupe de travail interdisciplinaire, impliquent à la fois des métrologues historiques, des musicologues et des mathématiciens. Ce groupe de travail universitaire fut nommé « M.M.M. », pour « Mesure, Musique, Mathématiques »^[1].  Il jouissait en outre du soutien financier externe de la Société des chimistes allemands (de) (GDCh). Ce groupe collecta et examina plus de mille règles graduées connues, généralement issues de fouilles archéologiques. Pour délimiter volontairement la tâche énorme, ce groupe de travail se spécialisa d'abord à l'Antiquité, prenant en compte les mesures du Moyen Âge à condition seulement, que les mêmes mesures identiques soient déjà attestées depuis l'Antiquité.

Principaux commas

En métrologie le comma enharmonique des musicologues n'est pas considéré étant comma. En effet, le ratio 128 : 125 est bien connu des métrologues, car le pied d'Abydos et le pied ancien de roi par exemple l'entretiennent. La différence est de presque six millimètres ou exactement + 2,4 %. C'est pour cela, les métrologues les identifient clairement comme deux mesures différentes, mesurant 326,592 et 318,9375 millimètres respectivement, cf. ce tableau synoptique. La même chose est vraie pour le comma syntonique et le comma pythagoricien des musicologues, respectivement, 81 : 80, soit + 1,25 %  et  3¹² : 2¹⁹, soit environ + 1,36 %.  Si ces rapports sont bien observés, mais les métrologues parlent, en l'occurrence, de ratio, car les écarts sont trop importants pour être considérés étant comma.

Le seuil de comma dépend du type de mesure. Pour les mesures unidimensionnels comme l'unité de longueur, il se situe à, maximum, ± 0,17 %,  car cela constitue d'un côté, la précision minimum atteinte dès l'Antiquité et durant le Moyen Âge, et de l'autre côté, aussi la précision minimum exigée pour de produits artisanaux soignés, cf. Tolérance. Cela dit, les métrologues producteurs d'étalons parvinrent, bien souvent et dès l'Antiquité, à des précisions trois ou quatre fois supérieures. Avec le volume par exemple, unité multidimensionnelle, le facteur de tolérance se multiplie corrélativement.

Cela explique, pourquoi le comma enharmonique et le comma syntonique des musicologues, par exemple, est bien connu aux métrologues en tant que simple ratio. En musique, il n'y a que douze demi-tons dans l'octave. La gamme dite bien tempérée repartie l'erreur, (ou bien, plus précisément, l'introduit pour de raisons pratiques,)  par la formule :  douzième racine de deux.  Cela dit, chaque note a une fréquence de quelque 5,95 % supérieur à la note plus grave, juste en dessous. Dans les gammes naturelles, tout écart inférieur est considéré comme comma par les musicologues.

Comma ordinaire

Le comma ordinaire en métrologie ancienne est le ratio 2401 : 2400  ou son inversion 2400 : 2401, soit d'environ ± 0,042 %.  Cet écart est, compte tenu des exigences anciennes, relativement mince. C'est pour cette raison, ce ratio, en métrologie, est bien considéré être un comma. Il est composé d'un nombre sept-lisse et d'un second nombre cinq-lisse, soit respectivement :  7⁴  =  2401   et   2⁵ × 3¹ × 5²  =  2400.

Ce comma peut s'introduire facilement par l'omniprésence de facteurs sept-lisses dans les ratios de déduction, comme par exemple les nombres vingt-huit et trente-cinq.

Comma graine de pavot

Le comma dit graine de pavot est de  4375 : 4374. C'est un comma aussi relativement fréquent en métrologie ancienne. Il implique un nombre sept-lisse et un autre nombre, trois-lisse celui-ci.  Soit :  7 × 5⁴  =  4375  et  2 × 3⁷  =  4374.  Ce comma est donc d'environ ± 0,023 %.

Comma métrique

Le comma dit métrique est de  250 047 : 250 000.  Il implique un nombre sept-lisse et un autre nombre cinq-lisse celui-ci.  Soit :  3⁶ × 7³  =  250 047  et  2⁴ × 5⁶  =  250 000.  Ce comma est donc de  + 0,018 8 %  exactement, ou bien, dans son inversion, d'environ  - 0,018 796 5  pour-cent.

En développant ce ratio, on obtient également :  1 000 188  :  1 000 000.   Ce petit comma métrologique est particulièrement intéressant. Cela pour deux raisons :

1. Ce comma exprime parfaitement le ratio entre deux valeurs conventionnelles possibles du pied Drusien, respectivement :  2 ^-1 × 3 ⁵ × 5 ^-3 × 7 ³  =  333,396 millimètres  et  2 ³ × 3 ^-1 × 5 ³  =  333 ⅓  millimètres. La première valeur, la valeur sept-lisse, est largement préférable en métrologie historique. La valeur cinq-lisse serait possible également, car elle rentre aussi à l'intérieur du coefficient de variation déterminé pour les mesures anciennes. Mais la première valeur se révèle d'être beaucoup plus pratique. En effet, la seconde valeur, dépourvue des facteurs trois et sept, à la première division par sept, donne  47 ¹³ ⁄ ₂₁  =  47, 619 047.  Si cette valeur, avec une périodicité à six chiffres seulement, resterait plutôt gérable, à la seconde division par sept, on obtient  6 ¹¹⁸ ⁄ ₁₄₇.  Cette fraction rationnelle, lorsqu'elle est exprimée en fraction décimale provoque une période sur quarante-deux chiffres, donc complètement ingérable. Si enfin, on doit, dans une troisième déduction, diviser le résultat encore par sept, ce qui n'a, en métrologie ancienne, rien d'extraordinaire, on obtient  ¹⁰⁰⁰ ⁄ ₁₀₂₉, soit une période décimale sur 294 chiffres. (Sic !)  La même opération, en partant de la valeur initialement sept-lisse, donne respectivement les valeurs limpides de 47,638 mm, de 6,804 mm et de 0,972 mm, sans arrondi nouveau. Cet exemple démontre que dans la métrologie historique, les valeurs conventionnelles lisses sont toujours préférables aux valeurs arrondies à une décimale quelconque près. Sauf, bien entendu, lorsqu'on parle d'un seul spécimen précis, mesuré scientifiquement avec la meilleure précision possible.
2. Ce même comma métrique comble aussi pratiquement toute l'erreur^[2], qui est de l'ordre de moins 0,02 pour-cent, des mesures de Delambre et Méchain, effectuées entre Dunkerque et Barcelonne à la fin du XVIII^e siècle pour la définition exacte du mètre décimal, devenu loi en l'An VIII (1799).

Ce comma métrique ne constitue, en réalité, qu'un raccourci pratique. Il s'agit, en fait, d'une simple combinaison des deux commas importants précédents, soit le comma ordinaire multiplié par le comma grain de pavot inversé, car :   1,000188   =   (2401 ÷ 2400)  ×  (4374 ÷ 4375).

Autres commas

Comma onze-lisse

Le comma onze lisse le plus fréquent implique même un nombre onze à la puissance de deux, soit cent vingt-et-un.
Le comma onze lisse :  3025 : 3024  ≅  1,0003307, soit environ plus  0,0331 pour-cent. Le premier nombre du ratio égale  5 ² × 11 ²  et  le second nombre égale  2 ⁴ × 3 ³ × 7.

Les métrologues de Louis XIV, lors de la réforme, colbertienne, de la toise en 1668, choisirent manifestement un pied néo-romain affecté du comma onze-lisse  3025 : 3024.
Car, abstraction faite du supplémentaire comma légal français (voir plus bas), le pied nouveau de roi mesura 297,675 × (3025 ÷ 3024)  ×  (12 ÷ 11)  =  324,84375 millimètres.

Commas : 13, 17, 19.

Les commas tels que comma 13, comma 17, comma 19, voire comma 23, etc. sont en fait des faux commas. Car aucun métrologue de formation ne choisissait jamais d'introduire délibérément dans les déductions de mesures, un nombre premier tellement encombrant. Les facteurs premier deux, trois et cinq sont inclus dans le système sexagésimal traditionnel. Ils sont omniprésent dans, et partie intégrante du système de mesure ancien, qui visa les nombres hautement composés. L'introduction des deux nombres premiers suivants, sept et onze, fut une nécessité, notamment par la triangulation rationnelle du carré pratiqué pendant des millénaires. Si bien, les métrologues bien avertis éliminèrent déjà le facteur onze de toutes les autres unités de longueur, par la création délibérée d'une perche astucieusement onze-lisse elle-même, donc de 16½  ou de 22 pieds.

Quelques mauvais ouvrages vulgarisateurs de l'époque moderne mentionnent parfois des ratios d'une lissité supérieurs à onze, comme par exemple l'improbable ratio  13 : 19.  Les commas suivants visent seulement à restituer les déductions métrologiques réelles.

La combinaison avec un des commas principaux peut parfois être judicieux pour la compréhension d'une déduction.  Exemple :  (1701 ÷ 1700)  ×  (2400 ÷ 2401)   =   5832 ÷ 5831,  soit  0,0171 %.
Lorsqu'une mesure locale fut supplantée par la mesure d'un pays conquérant par exemple, on officialisa parfois même ces ratios inhabituels. L'ancienne mesure fut redéfinit, valant e.g.  (24 × 17 =)  408,0  pouces du nouveau pied dominant, au lieu de, correctement,  408 ⅓  pouces.

Commas légaux

Les commas légaux des anciennes mesures expriment le ratio entre les valeurs légales et les valeurs très lisses les plus proches.  Ainsi :

La verge anglo-saxonne, yard en anglais, fut définit légalement en 1959 valant 0,9144 mètres exactement^[3].
Le comma légal anglo-saxon :   15 876 : 15 875   ≅   1,000062992, soit environ 0,0063 pour-cent.  Le premier nombre du ratio égale  2 ² × 3 ⁴ × 7 ² et  le second nombre égale  5 ³ × 127 .

La toise autrichienne fut définit par la loi métrologique autrichienne du 23 juillet 1871, valant 1,896 483 84 mètres exactement^[4].
Le comma légal autrichien :   123 480 : 123 469   ≅   1,000089091, soit environ 0,0089 pour-cent.  Le premier nombre du ratio égale  2 ³ × 3 ² × 5 × 7 ³ et  le second nombre égale  37 × 47 × 71 .

La loi du 19 frimaire An VIII  (10 déc. 1799)  stipula que le mètre soit égal à  « une longueur de 3 pieds 11,296 lignes de la Toise de l'Académie »^[5],  d'où un pied de roi est environ 324,839 385 mm.
Le comma légal français :   3 200 043 : 3 200 000  =   1,0000134375, soit environ 0,0013 pour-cent.  Le premier nombre du ratio égale  1979 × 11 × 7 ² × 3  et  le second nombre égale  2 ¹⁰ × 5 ⁵.

Notez que le pied polonais n'a pas de comma légal. Avec sa valeur légale de 288,0 mm, il est d'une lissité exquise. Tout au plus, pour une question pratique, il conviendrait de lui restituer son comma ordinaire.
Puisque le pied polonais est directement déduit du pied romain par la triangulation rationnelle du carré :  (((296,352 × 16½) ÷ 99)  × 70)  ÷ 12  =  288,12 millimètres. Leur ratio historique est donc bien de 35 : 36.
Un hypothétique ratio de 1000 : 1029  entre le pied polonais et le pied romain est définitivement exclus par le rasoir d'Ockham.

Comma métrologique et précision

La présence de commas n'affecte pas la bonne précision relative de la métrologie ancienne dans son ensemble. En effet, on pourrait croire que par un effet accumulatif de commata, toutes les précisions partiraient inévitablement à la dérive, invalidant dans son ensemble toute la métrologie ancienne. Cela ne fut pas le cas ! La raison en est très simple. Tous les métrologues, dès la plus haute Antiquité, à chaque fois qu'ils établirent un nouvel étalon, se rassurèrent en le comparent à plusieurs autres grandes mesures connus et pratiqués dans les pays environnants. En étudiant et en connaissant parfaitement les ratios avec les mesures de leurs voisins, le système ancien de mesure se pratiqua durant des millénaires, avec une précision admirable.

Notes et références

Annexes

Articles connexes

• Pied (unité)
• Système de mesure ancien