Base (topologie)

Base (topologie)
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Base.

En mathématiques, une base d'une topologie est un ensemble d'ouverts tel que tout ouvert de la topologie soit l'union d'éléments de cet ensemble.

Sommaire

Définition

Soit un espace topologique (E,T) et B un ensemble d'ouverts de (E,T).

B est une base de (E,T) si tout ouvert de (E,T) est l'union d'éléments de B. On dit alors que B engendre la topologie T.

Le concept de base topologique est utile car l'expression de nombreuses propriétés de topologies peut être restreinte à des énoncés sur une base qui les génèrent. Certaines topologies sont également plus facilement définies en termes de base.

Propriétés

Soit B une base de (E,T) :

  • B est un recouvrement de E.
  • Soient B1 et B2 deux éléments de B et I leur intersection. Pour tout élément x de I, il existe un élément B3 de B contenant x et contenu dans I.

Si un ensemble B de sous-ensembles de E ne satisfait pas à l'une de ces deux propriétés, alors B n'est une base pour aucune topologie de E. Inversement, si un ensemble B satisfait ces deux propriétés, alors il existe une unique topologie sur E dont B est une base, appelée topologie engendrée par B (il s'agit de l'intersection de toutes les topologies sur E contenant B).

Une topologie ne possède pas forcément une unique base ; en fait, plusieurs bases distinctes peuvent engendrer la même topologie.

Objets définis en termes de bases

Exemples

Sur l'ensemble des nombres réels \mathbb R :

  • En revanche, l'ensemble des intervalles semi-infinis de type ]−∞, a[ ou ]a, +∞[, où a est un nombre réel, n'est pas une base d'une topologie sur \mathbb R. Par exemple, ]−∞, 1[ et ]0, -∞[ appartiennent bien à cet ensemble, mais leur intersection ]0,1[ ne peut pas être exprimée comme union d'élements de cet ensemble.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Base (topologie) de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Base (Topologie) — Pour les articles homonymes, voir Base. En mathématiques, une base d une topologie est un ensemble d ouverts tel que tout ouvert de la topologie soit l union d éléments de cet ensemble. Sommaire 1 Définition …   Wikipédia en Français

  • TOPOLOGIE - Topologie algébrique — Inventée au début du XXe siècle pour résoudre des problèmes géométriques, la topologie algébrique connut un grand développement grâce à l’introduction de constructions algébriques de plus en plus abstraites. Pour clarifier l’exposé, on a… …   Encyclopédie Universelle

  • TOPOLOGIE - Topologie différentielle — La topologie différentielle, que l’on devrait plutôt appeler «topologie des variétés », est une discipline mathématique assez ancienne par les problèmes qu’elle cherche à résoudre: ils étaient presque tous posés au début du siècle; mais ses… …   Encyclopédie Universelle

  • Topologie grossiere — Topologie grossière En mathématiques, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble est une topologie où les seuls ouverts sont l ensemble vide et l espace lui même. Cette topologie est la moins fine de toutes les… …   Wikipédia en Français

  • Topologie triviale — Topologie grossière En mathématiques, la topologie grossière (ou topologie triviale) associée à un ensemble est une topologie où les seuls ouverts sont l ensemble vide et l espace lui même. Cette topologie est la moins fine de toutes les… …   Wikipédia en Français

  • Topologie discrete — Topologie discrète En mathématiques, la topologie discrète associée à un ensemble est une topologie où, de façon intuitive, tous les points sont « isolés » les uns des autres. Définitions Soit X un ensemble. L ensemble des parties de X… …   Wikipédia en Français

  • Topologie algebrique — Topologie algébrique La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l algèbre dans l étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de… …   Wikipédia en Français

  • Topologie Mesh — Image montrant la topologie d un réseau mesh La topologie mesh (terme anglais signifiant maille ou filet), est une topologie de réseau qualifiant les réseaux (filaires ou non) dont tous les hôtes sont connectés de proche en proche sans hiérarchie …   Wikipédia en Français

  • Topologie maillée — Topologie mesh Image montrant la topologie d un réseau mesh La topologie mesh (terme anglais signifiant maille ou filet), est une topologie de réseau qualifiant les réseaux (filaires ou non) dont tous les hôtes sont connectés de proche en proche… …   Wikipédia en Français

  • Base De Hilbert — David Hilbert en 1912 Une base de Hilbert ou encore base hilbertienne est une généralisation aux espaces de Hilbert de la notion classique de base orthonormée en algèbre linéaire, pour les espaces euclidiens (ou hermitiens …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”