Prébase

En mathématiques, plus précisément en topologie, une prébase d'un espace topologique (X, T) est un ensemble de parties de X qui engendre la topologie T, c'est-à-dire tel que T soit la plus petite topologie sur X pour laquelle toutes ces parties sont des ouverts. Toute base est une prébase. Une prébase n'est pas toujours une base, mais permet d'en construire une.

Topologie engendrée

Soient X un ensemble et A un ensemble de parties de X.

Il existe des topologies sur X qui contiennent A (ne serait-ce que la topologie discrète). Parmi elles, il en existe une "moins fine que" (i.e. "plus petite que", au sens : "incluse dans") toutes les autres. En effet, toute intersection de topologies sur X est une topologie sur X ; il suffit donc de faire l'intersection de toutes les topologies sur X contenant A.

On l'appelle la topologie sur X engendrée par A .

On vient de la construire "de l'extérieur". On peut aussi la construire "de l'intérieur", en deux étapes. Dans un premier temps, on complète A en formant l'ensemble B de toutes les intersections finies d'éléments de A. Alors, B est la base d'une topologie, qui n'est autre que celle engendrée par A.

En clair, une partie de X est ouverte pour la topologie engendrée par A si et seulement si elle est réunion d'intersections finies d'éléments de A.

Prébase

Soient X un ensemble, A un ensemble de parties de X, et T une topologie sur X.

On dit que A est une prébase de T si la topologie sur X engendrée par A est égale à T.

Propriété

La caractérisation de la continuité d'une application f : X → Y (où X, Y désignent deux espaces topologique) se simplifie si l'on dispose d'une prébase A de la topologie sur Y (autrement dit : si la topologie sur Y est celle engendrée par A) :

f est alors continue si (et seulement si) pour tout élément U de la prébase A, f⁻¹(U) est un ouvert de X.

Exemples

• Pour la topologie de la droite réelle, les demi-droites ouvertes, c'est-à-dire les intervalles de la forme ]-∞,a[ ou de la forme ]a,+∞[ où a est un nombre réel, forment une prébase (on peut même se contenter des a rationnels).
• Si (X,≤) est un ensemble ordonné, divers choix de prébases permettent de définir différentes topologies de l'ordre sur X.
• Soit X un ensemble. Pour une famille d'applications f_i : X → Y_i, chaque Y_i désignant un espace topologique, une prébase de la topologie initiale sur X associée est constituée de toutes les parties de X de la forme f_i⁻¹(U), où l'indice i prend toutes les valeurs possibles et où U est un ouvert arbitraire de l'espace Y_i correspondant. D'après la propriété précédente, c'est donc la topologie sur X la moins fine pour laquelle toutes les f_i sont continues. (Deux cas particuliers importants de topologie initiale sont la topologie produit et la topologie induite.)

Référence

Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématique, Topologie générale, chapitres 1 à 4

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