- Anneau de Bézout
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En algèbre commutative un anneau de Bézout est un anneau où la propriété de Bézout va se trouver vérifiée. Plus formellement, c'est un anneau dans lequel tout idéal de type fini est principal. Si, en toute théorie, la définition d'un anneau de Bézout n'exige pas la propriété d'intégrité de l'anneau, en pratique les anneaux de Bézout que l'on étudie sont en général intègres[1].
Sommaire
Idéal de type fini et propriété de Bézout
Un idéal de type fini est un idéal engendré par un nombre fini d'éléments. Un idéal engendré par un élément a est dit idéal principal et se note aA. Un idéal engendré par deux éléments a et b se note aA+bA, il est constitué des éléments de A pouvant s'écrire sous la forme au+bv avec u et v éléments de A.
Un anneau est donc de Bézout si et seulement si, pour tous a et b de A, il existe un élément d de A tel que aA+bA=dA. L'implication directe n'est qu'un conséquence de la définition, la réciproque provient du fait que si un idéal engendré par 2 éléments est principal, il en est de même de l'idéal engendré par 3 éléments, puis 4, puis n.
Dans un anneau de Bézout tout couple (a,b) d'éléments non nuls possède un PGCD : pgcd(a,b)=d si et seulement si aA+bA=dA. Tout anneau de Bézout est donc un anneau à PGCD.
De cette égalité, on déduit la propriété suivante appelée identité de Bézout : pour tous éléments a, b et c de A, il existe des solutions à l'équation au+bv=c si et seulement si c est multiple du PGCD de a et b.
Hiérarchie
- Puisque tout anneau de Bézout est un anneau à PGCD, pour un anneau de Bézout intègre on a :
- le lemme de Gauss et le lemme d'Euclide sont vérifiés ;
- tout élément irréductible est premier (ces deux propriétés sont alors équivalentes) ;
- l'anneau est intégralement clos.
- Un anneau intègre est de Bézout si et seulement s'il est à la fois à PGCD et de Prüfer, un anneau intègre étant dit de Prüfer si tout idéal de type fini non nul est inversible.
- Tout anneau de valuation est clairement de Bézout.
- Un anneau intègre est principal si et seulement s'il est à la fois de Bézout et atomique, un anneau intègre étant dit atomique si tout élément non nul et non inversible y est produit d'irréductibles.
- Puisque tout anneau factoriel est intègre et atomique, tout anneau de Bézout qui est aussi factoriel est un anneau principal.
- De même, puisque tout anneau noethérien est atomique, tout anneau de Bézout intègre qui est aussi noethérien est principal. (Plus généralement : pour qu'un anneau soit atomique, il suffit que toute suite croissante d'idéaux principaux soit stationnaire.)
- Il existe des anneaux de Bézout intègres non atomiques (donc non factoriels), comme l'anneau
des fonctions entières[2] ou celui des entiers algébriques[3],[4]. On peut également construire[5], pour tout groupe abélien totalement ordonné G, un anneau de valuation (donc de Bézout) dont le groupe de valuations est G : pour G non trivial et non isomorphe à Z, cet anneau sera de valuation non triviale et non discrète, donc ne sera pas principal.
Notes et références
- Aviva Spirzglas, Algèbre L3, p. 511
- Voir une démonstration dans Arithmétique des anneaux de fonctions holomorphes de David Bourqui
- (en) Example of a Bezout domain that is not a PID de PlanetMath
- Pour une généralisation, cf (en) Pete L. Clark, Commutative algebra, Kaplansky (en)'s theorem p. 215
- Bourbaki, Éléments de mathématique, AC VI.3.4
Bibliographie
Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail des éditions]
- Puisque tout anneau de Bézout est un anneau à PGCD, pour un anneau de Bézout intègre on a :
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