Anneau intégralement clos

Anneau intégralement clos
Cet article court présente un sujet plus développé dans : Élément entier.

En algèbre commutative, un anneau intégralement clos est un anneau intègre A qui est sa propre clôture intégrale dans son corps des fractions, c'est-à-dire que, pour tout p et tout q non nul appartenant à A, si \frac pq est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A alors \frac pq appartient à A.

Démonstration

Dans un anneau intègre à PGCD, le lemme de Gauss est vérifié.

Soit P(X)=\sum_{i=0}^na_iX^i un polynôme unitaire (c'est-à-dire que an = 1) à coefficients dans A et \frac pq un élément du corps des fractions de A où p et q sont premiers entre eux.

Si \frac pq est une racine de P alors

\sum_{i=0}^na_i\left(\dfrac pq\right)^i=0

puis en multipliant par qn

\sum_{i=0}^na_i p^iq^{n-i}=0

Puisque, pour tout i < n, q divise \scriptstyle a_ip^iq^{n-i}, on en déduit que q divise aussi anpn = pn. Or q et p sont premiers entre eux ; d'après le lemme de Gauss, q doit alors diviser 1, autrement dit q est inversible dans A, donc \frac pq est un élément de A.

  • En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions[1].
  1. ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, AC VI § 1 n° 3

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Anneau intégralement clos de Wikipédia en français (auteurs)

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